《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

问题1：如图1，这是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降1m，此时水面宽度增加多少？

问题2：这是一个什么样的函数呢？
问题3：怎样建立平面直角坐标系比较简单呢？
解：如图2，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系。
设这条抛物线的解析式为$y = ax^2$，由抛物线经过点$(2, -2)$，可得$-2 = a×2^2$，解得$a = -\frac{1}{2}$。
∴这条抛物线的解析式为$y = -\frac{1}{2}x^2$。
当水面下降1m，水面的纵坐标为-3，此时水面的宽度为2√6m。
∴水面下降1m，水面宽度增加(2√6 - 4)m。

答案： 问题1：水面下降1m，水面宽度增加$(2\sqrt{6} - 4)$m。
问题2：这是一个二次函数。
问题3：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系比较简单。

1. 【例1】如图，一个高尔夫球在地面上的O点被击出，球的飞行路线是抛物线$y = -\frac{1}{5}x^2 + \frac{8}{5}x$，其中$y(m)$是球的飞行高度，$x(m)$是球飞出的水平距离。求：
（1）球飞行过程中的最大高度；
（2）球飞行过程中的最大水平距离。

答案： 1. 解:
(1)y = -$\frac{1}{5}$x² + $\frac{8}{5}$x = -$\frac{1}{5}$(x - 4)² + $\frac{16}{5}$.
∵ -$\frac{1}{5}$＜0,
∴当x = 4时,y取最大值,最大值为$\frac{16}{5}$.
∴球飞行过程中的最大高度为$\frac{16}{5}$m.
(2)令y = 0,则 -$\frac{1}{5}$x² + $\frac{8}{5}$x = 0,解得x₁ = 0,x₂ = 8.
∴球飞行过程中的最大水平距离为8m.

2. 校运会上，小明参加铅球比赛，在某次试掷过程中，铅球飞行的高度$y(m)$与水平距离$x(m)$之间的函数关系式为$y = -\frac{1}{12}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$（如图）。
（1）求小明这次试掷的成绩；
（2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m。

答案： 2. 解:
(1)当y = 0时, -$\frac{1}{12}$x² + $\frac{2}{3}$x + $\frac{5}{3}$ = 0,解得x₁ = -2(舍去),x₂ = 10.
∴小明这次试掷的成绩为10m.
(2)y = -$\frac{1}{12}$x² + $\frac{2}{3}$x + $\frac{5}{3}$ = -$\frac{1}{12}$(x - 4)² + 3.
∵ -$\frac{1}{12}$＜0,
∴当x = 4时,y取最大值,最大值为3.
∴铅球行进高度不能达到4m.