《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. (1) 将 $ x^2 - 2x - 3 $ 分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图：

所以 $ x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) $。
我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为 $ x^2 - (a + b)x + ab = (x - a)(x - b) $。
(2) 根据乘法原理：若 $ ab = 0 $，则 $ a = 0 $ 或 $ b = 0 $。
依照上面的方法和原理，解下列方程：
(1) $ x^2 + 5x + 6 = 0 $。(2) $ x^2 - 7x + 10 = 0 $。(3) $ x^2 - x - 12 = 0 $。(4) $ 3x^2 - 2x - 1 = 0 $。

答案： 1.解:
(1)$(x+2)(x+3)=0$.$\therefore x+2=0$或$x+3=0$.$\therefore x_{1}=-2$,$x_{2}=-3$.
(2)$(x-5)(x-2)=0$.$\therefore x-5=0$或$x-2=0$.$\therefore x_{1}=5$,$x_{2}=2$.
(3)$(x-4)(x+3)=0$.$\therefore x-4=0$或$x+3=0$.$\therefore x_{1}=4$,$x_{2}=-3$.
(4)$(x-1)(3x+1)=0$.$\therefore x-1=0$,$3x+1=0$.$\therefore x_{1}=1$,$x_{2}=-\dfrac{1}{3}$.

2. 解方程：
(1) $ x^2 - 2x - 99 = 0 $；
(2) $ 3(x + 1)^2 - 108 = 0 $；
(3) $ 3(x - 2)^2 = 4 - x^2 $；

答案： 2.解:
(1)$x^{2}-2x=99$,$x^{2}-2x+1=99+1$,即$(x-1)^{2}=100$.$\therefore x-1=\pm10$.$\therefore x_{1}=11$,$x_{2}=-9$.
(2)$3(x+1)^{2}=108$,$(x+1)^{2}=36$.$\therefore x+1=\pm6$.$\therefore x_{1}=5$,$x_{2}=-7$.
(3)$3(x-2)^{2}+x^{2}-4=0$,$3(x-2)^{2}+(x+2)(x-2)=0$,$(x-2)(3x-6+x+2)=0$,$4(x-2)(x-1)=0$.$\therefore x-2=0$或$x-1=0$.$\therefore x_{1}=2$,$x_{2}=1$.

3. 解方程：
(1) $ x^2 - 8x - 11 = 0 $；
(2) $ x^2 - 4x = 5 $；
(3) $ x(2x - 5) = 6x - 15 $；
(4) $ (x + 1)(x + 3) = 2 $。
(4) $ (2x + 1)^2 = x^2 + 2 $。

答案： 3.解:
(1)$x^{2}-8x+16=16+11$,$(x-4)^{2}=27$,$x-4=\pm3\sqrt{3}$.$\therefore x_{1}=4+3\sqrt{3}$,$x_{2}=4-3\sqrt{3}$.
(2)$x^{2}-4x-5=0$,$(x-5)(x+1)=0$.$\therefore x-5=0$或$x+1=0$.$\therefore x_{1}=5$,$x_{2}=-1$.
(3)$x(2x-5)=3(2x-5)$,$x(2x-5)-3(2x-5)=0$,$(2x-5)(x-3)=0$.$\therefore 2x-5=0$或$x-3=0$.$\therefore x_{1}=\dfrac{5}{2}$,$x_{2}=3$.
(4)整理,得$3x^{2}+4x-1=0$.$\because a=3$,$b=4$,$c=-1$,$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=4^{2}-4×3×(-1)=28＞0$.$\therefore x=\dfrac{-4\pm\sqrt{28}}{2×3}=\dfrac{-4\pm2\sqrt{7}}{6}=\dfrac{-2\pm\sqrt{7}}{3}$.$\therefore x_{1}=\dfrac{-2+\sqrt{7}}{3}$,$x_{2}=\dfrac{-2-\sqrt{7}}{3}$.