《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

3. 已知抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ (-2,0),(4,0) $，函数的最大值为 9.
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求抛物线的解析式.

答案：
(1)抛物线的对称轴为直线$x=\frac {-2+4}{2}=1$.
(2)由题意,得二次函数的顶点坐标为$(1,9)$,设二次函数的解析式为$y=a(x+2)(x-4)$.将点$(1,9)$代入,得$9=-9a$,解得$a=-1$.
∴二次函数的解析式为$y=-(x+2)(x-4)$,即$y=-x^{2}+2x+8.$

4. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点，与 $ y $ 轴的正半轴交于点 $ C $，且 $ AC = 15,BC = 20,\angle ACB = 90^{\circ} $，求此抛物线的解析式.

答案： $\because ∠ACB=90^{\circ },AC=15,BC=20,\therefore AB=\sqrt {15^{2}+20^{2}}=25.$$\because S_{△ABC}=\frac {1}{2}OC\cdot AB=\frac {1}{2}AC\cdot BC,\therefore OC=\frac {15×20}{25}=12.\therefore OA=$$\sqrt {15^{2}-12^{2}}=9.\therefore OB=25-9=16$.
∴抛物线与x轴的交点坐标为$(-9,0),(16,0)$或$(-16,0),(9,0)$.①当抛物线过点$(-9,0),(16,0)$时,设抛物线的解析式为$y=a(x+9)(x-16)$.把$C(0,12)$代入,得$-144a=12$,解得$a=-\frac {1}{12}$.此时抛物线的解析式为$y=-\frac {1}{12}(x+9)(x-16)$,即$y=-\frac {1}{12}x^{2}+\frac {7}{12}x+12$;②当抛物线过点$(-16,0),(9,0)$时,设抛物线的解析式为$y=a(x+16)(x-9)$.把$C(0,12)$代入,得$-144a=12$,解得$a=-\frac {1}{12}$.此时抛物线的解析式为$y=-\frac {1}{12}(x+16)(x-9)$,即$y=-\frac {1}{12}x^{2}-\frac {7}{12}x+12$.综上所述,此抛物线的解析式为$y=-\frac {1}{12}x^{2}+\frac {7}{12}x+12$或$y=-\frac {1}{12}x^{2}-\frac {7}{12}x+12.$

5. 如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 经过点 $ A(-1,0),B(3,0) $，且 $ OB = OC $.
(1)求抛物线的解析式；
(2) $ D $ 是抛物线的顶点，求 $ \triangle BCD $ 的面积.

答案：
(1)
∵抛物线$y=ax^{2}+bx+c$经过点$A(-1,0),B(3,0)$,且$OB=OC,\therefore OC=OB=3$.$\therefore C(0,3)$.设抛物线的解析式为$y=a(x+1)(x-3)$.将$C(0,3)$代入,得$-3a=3,\therefore a=-1$.
∴抛物线的解析式为$y=-(x+1)(x-3)=-x^{2}+2x+3$.
(2)$\because y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4,\therefore D(1,4)$.过点D作$DF⊥AB$于点F,交BC于点E.设直线BC的解析式为$y=kx+3$.将$(3,0)$代入,得$0=3k+3,\therefore k=-1$.
∴直线BC的解析式为$y=-x+3$.当$x=1$时,$y=2,\therefore E(1,2).\therefore DE=4-2=2.\therefore S_{△BCD}=\frac {1}{2}DE\cdot OB=\frac {1}{2}×2×3=3.$