《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

6. 【例2】(1)(2024·深圳)若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4x + a = 0$ 的一个解为 $x = 1$，则 $a =$_______.

答案： 6.
(1)3

(2)(2024·广州越秀区期末)若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k - 1)x^2 + 3x + k^2 - 1 = 0$ 的一个根为0，则 $k$ 的值为( )
A.0
B.1
C.$-1$
D.1或$-1$

答案：
(2)C

7. (1)(2024·东莞松山湖未来学校期末)若 $x = 3$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 - 2x - m = 0$ 的一个根，则 $m$ 的值是( )
A.$-15$
B.$-3$
C.3
D.15

答案： 7.
(1)C

(2)(2024·佛山顺德区期末)若 $x = m$ 是方程 $x^2 + 3x - 1 = 0$ 的根，则 $m^2 + 3m + 2024$ 的值为_______.

答案：
(2)2025

8. (2024·深圳罗湖区期末)下列方程中，是一元二次方程的是(A)

A.$x^2 - 1 = 0$
B.$y^2 + x = 1$
C.$2x + 1 = 0$
D.$x + \frac{1}{x} = 1$

答案： 8.A

9. (2024·东莞东城区期末)将一元二次方程 $x(-x + 2) = 3$ 化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是(A)

A.$-2$
B.2
C.1
D.3

答案： 9.A

10. (2024·广州增城区期末)若 $x = 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - ax + 1 = 0$ 的解，则 $a =$2.

答案： 10.2

11. (2023·东莞期末)已知 $(m - 1)x^{|m + 1|} - 3x - 5 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则 $m =$-3.

答案： 11.-3

12. (2023·广州珠海区期末)若 $a$ 是一元二次方程 $x^2 - 2x - 1012 = 0$ 的一根，则 $4a - 2a^2$ 的值为-2024.

答案： 12.-2024

13. 新考向 应用意识 设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感. 按此比例，如果雕像的高为2m，那么上部应设计为多高？设雕像的上部高 $x$ m，列方程，并化成一般形式是x²-6x+4=0.

答案： 13.$x^{2}-6x+4=0$

14. （1）已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$ 的一个根为1，求 $a + b + c$ 的值；
（2）若 $a - b + c = 0$，你能通过观察，求出方程 $ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$ 的一个根吗？
（3）若 $a - b + c = 0$，且 $4a + 2b + c = 0$，你能通过观察，写出方程 $ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$ 的根吗？

答案： 14.解:
(1)将$x=1$代入$ax^{2}+bx+c=0$,得$a+b+c=0$.
(2)$\because a-b+c=0,\therefore a\cdot (-1)^{2}+b\cdot (-1)+c=0$.
∴方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的一个根是-1.
(3)$\because a-b+c=0,4a+2b+c=0,\therefore a\cdot (-1)^{2}+b\cdot (-1)+c=0,a\cdot 2^{2}+b\cdot 2+c=0$.
∴方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的根为-1和2.