《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. 【例 1】(2023·聊城)在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字$-\sqrt{3},\sqrt{6},0,2,π$的小球，这些小球除数字外完全相同. 从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为$\frac{2}{5}$.

答案： $\frac{2}{5}$

2. 在盒子里放有分别写有整式$2,π,x,x + 1$的四张卡片，从中随机抽取两张，把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是(A)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$

答案： A

3. 【例 2】(2024·清远连南县期中)有三张正面分别标有数字$-1,1,2$的不透明卡片，它们除数字不同外全部相同. 现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为$a$；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为$b$，则使关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{3x - 2}{2} ＜ x + \frac{3}{2},\\ax ＞ b\end{cases}$的解集中有且只有$2$个非负整数的概率为$\frac{1}{6}$.

答案： $\frac{1}{6}$

4. 从$-2,-1,1,2$这四个数中任取一个作为$a$的值，再从余下的三个数中任取一个数作为$b$的值，则不等式组$\begin{cases}x ＞ a,\\x ＜ b\end{cases}$有整数解的概率是$\frac{1}{3}$.

答案： $\frac{1}{3}$

5. 【例 3】从$1,2,3,4$四个数中随机选取两个不同的数，分别记为$a,c$，则关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+4x + c = 0$有实数解的概率为(C)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

答案： C

6. (2022·盘锦)若关于$x$的方程$x^{2}-3x + m = 0$有两个不相等的实数根，且$m\geq - 3$，则从满足条件的所有整数$m$中随机选取一个，恰好是负数的概率是$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

7. 【例 4】从$-2,-1,1$中任取两个不同的数作为一次函数$y = kx + b$的系数$k,b$，则函数$y = kx + b$的图象交$x$轴于正半轴的概率是(A)

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{4}{9}$

答案： A

8. (2023·东莞松山湖期中)从$-\frac{1}{2},-1,1,2,5$中任取一数作为$a$，使抛物线$y = ax^{2}+bx + c$的开口向上的概率为$\frac{3}{5}$.

答案： $\frac{3}{5}$

9. 【例 5】(2024·深圳南山区期末)如图，这是由两个相同的正方形拼成的图形，假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是(B)

A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{7}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： B

10. (2023·广州荔湾区模拟)如图，正方形$ABCD$及其内切圆$O$，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是(B)

A.$\frac{\pi}{4}$
B.$1 - \frac{\pi}{4}$
C.$\frac{\pi}{8}$
D.$1 - \frac{\pi}{8}$

答案： B