《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. 圆的周长公式：$C=$$2\pi r$；圆的面积公式$S=$$\pi r^{2}$。
2. 圆的动态定义：线段$OA$绕固定点$O$旋转一周，点$A$所形成的图形叫做圆。
圆心角为$1^{\circ}$的弧长与周长有关系吗？

答案： 1.$2\pi r$ $\pi r^{2}$

问题1：在半径为$R$的圆中，因为$360^{\circ}$的圆心角所对的弧长就是圆周长$C = 2\pi R$，所以$1^{\circ}$的圆心角所对的弧长是$\frac{\pi R}{180}$，$n^{\circ}$的圆心角所对的弧长是$\frac {n\pi R}{180}$，从而得到$n^{\circ}$圆心角所对的弧长$l=$$\frac {n\pi R}{180}$。

答案： 问题1:$\frac {n\pi R}{180}$ $\frac {n\pi R}{180}$ 

问题2：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。圆可以看成是圆心角为$\frac {n\pi R^{2}}{360}$$^{\circ}$的扇形。

答案： 问题2:$\frac {n\pi R^{2}}{360}$ 

问题3：扇形面积是圆面积的一部分，与求弧长的计算类似，$1^{\circ}$的圆心角所对的扇形面积是$\pi R^{2}$，$n^{\circ}$的圆心角所对的扇形面积是$\frac {n\pi R^{2}}{360}$。

答案： 问题3:$\pi R^{2}$ $\frac {n\pi R^{2}}{360}$ 

问题4：利用弧长公式和扇形面积公式，你能推导出扇形面积$S$与弧长$l$之间的关系吗？

答案： $S=\frac{n\pi R^{2}}{360}=\frac{1}{2}×\frac{n\pi R}{180}× R=\frac{1}{2}lR$。

1. (1)半径为$6$，圆心角为$120^{\circ}$的扇形，弧长为$4\pi$，扇形面积为；
(2)半径为$6$，弧长为$6\pi$的扇形，面积为$18\pi$。

答案： 1. （1）
首先求弧长$l$：
弧长公式$l = \alpha× r$（其中$\alpha$为圆心角弧度数，$r$为半径），已知圆心角$n = 120^{\circ}$，根据$\alpha=\frac{n\pi}{180}$，则$\alpha=\frac{120\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}$，$r = 6$。
由弧长公式$l=\alpha r$，可得$l=\frac{2\pi}{3}×6 = 4\pi$。
然后求扇形面积$S$：
扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为半径），已知$l = 4\pi$，$r = 6$。
根据$S=\frac{1}{2}lr$，则$S=\frac{1}{2}×4\pi×6=12\pi$。
2. （2）
已知$r = 6$，$l = 6\pi$，根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$。
把$l = 6\pi$，$r = 6$代入公式，可得$S=\frac{1}{2}×6\pi×6 = 18\pi$。
故答案依次为：（1）$4\pi$；$12\pi$；（2）$18\pi$。

2. 【例1】（教材九上P111例1）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度$L$（参考数据：$\pi\approx3.14$，结果取整数）。

答案： 2.解:由题意,得$\widehat {AB}$的长$l=\frac {100×900×\pi }{180}=500\pi \approx 1570(mm)$.
∴管道的展直长度$L\approx 2×700+1570=2970(mm).$

3. 某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，$\overset{\frown}{AB}$，$\overset{\frown}{CD}$所在圆的圆心为点$O$，点$C$，$D$分别在$OA$，$OB$上。已知消防车道半径$OC = 12m$，消防车道宽$AC = 4m$，$\angle AOB = 120^{\circ}$，则弯道外边缘$\overset{\frown}{AB}$的长为(C)


A.$8\pi m$
B.$4\pi m$
C.$\frac{32}{3}\pi m$
D.$\frac{16}{3}\pi m$

答案： 3.C