《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

15. （2023·东莞期末）如图，在平面直角坐标系中，$ \triangle ABC $ 的三个顶点的坐标分别为 $ A(5, 4) $，$ B(0, 3) $，$ C(2, 1) $.
（1）画出 $ \triangle ABC $ 关于原点成中心对称的 $ \triangle A_1B_1C_1 $，并写出点 $ C_1 $ 的坐标；
（2）画出将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ B $ 顺时针旋转 $ 90° $ 所得的 $ \triangle A_2BC_2 $.

答案：
解:
(1)点$C_{1}$的坐标为$(-2,-1)$.
(2)如图

16. (2023·珠海金湾区期末)如图，在边长为 $ 1 $ 的正方形网格中，$ \triangle ABC $ 的顶点均在格点上.
(1)不用量角器，在方格纸中画出 $ \triangle ABC $ 绕点 $ B $ 按顺时针方向旋转 $ 90° $ 后得到 $ \triangle A_1B_1C_1 $；
(2)不使用圆规，只用无刻度的直尺作图，过点 $ B $ 作 $ AC $ 的垂线交 $ AC $ 于点 $ F $，在图中标出垂足 $ F $ 的位置；(保留作图痕迹)
(3)$ BF $ 的长为2\sqrt{5}.

答案：
解:
(1)
(2)如图.

(3)$2\sqrt{5}$

17. 如图，$ P $ 是正方形 $ ABCD $ 内一点，连接 $ PA $，$ PB $，$ PC $，将 $ \triangle ABP $ 绕点 $ B $ 顺时针旋转到 $ \triangle CBP' $ 的位置.
（1）旋转中心是点B，旋转的度数是90°；
（2）连接 $ PP' $，则 $ \triangle BPP' $ 的形状是等腰直角三角形；
（3）若 $ PA = 2 $，$ PB = 4 $，$ \angle APB = 135° $，求 $ PC $ 的长.

答案： 解:
(1)B $90^{\circ }$
(2)等腰直角三角形
(3)$\because PB=P'B=4$,
∴在$Rt△PBP'$中,$PP'=\sqrt {PB^{2}+P'B^{2}}=4\sqrt {2}$.$\because ∠BP'C=∠BPA=135^{\circ },\therefore ∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }$.$\because PA=P'C=2$,
∴在$Rt△PP'C$中,$PC=\sqrt {PP'^{2}+P'C^{2}}=6$.

18. （2023·惠州大亚湾区期末）如图，在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90° $，将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ B $ 按顺时针方向旋转得到 $ \triangle A'BC' $，旋转角为 $ \alpha (0° ＜ \alpha ＜ 360°) $，过点 $ A $ 作 $ AE // C'A' $ 交直线 $ CC' $ 于点 $ E $，$ CE $ 交 $ AA' $ 于点 $ D $.
（1）求证：$ ED = C'D $；
（2）若 $ \angle ABC = 60° $，则在 $ \triangle ABC $ 绕点 $ B $ 旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得 $ EC' = AA' $？如果存在，请直接写出此时 $ \alpha $ 的度数；如果不存在，请说明理由.

答案： 解:
(1)证明:连接$A'E,AC'.\because BC=BC',\therefore ∠C'CB=∠CC'B$.$\because ∠ACB=∠A'C'B=90^{\circ },∠EC'C=180^{\circ },\therefore ∠ACC'=∠ACB-∠C'CB=90^{\circ }-∠C'CB,∠EC'A'=∠EC'C-∠A'C'B-∠CC'B=180^{\circ }-90^{\circ }-∠CC'B=90^{\circ }-∠CC'B$.$\therefore ∠ACC'=∠EC'A'$.$\because AE// C'A',\therefore ∠ECA'=∠A'ED$.$\because AC=A'C',\therefore △AEC\cong △A'ED$.$\therefore AE=A'D$.$\because AE// C'A'$,
∴四边形$AC'A'E$是平行四边形.$\therefore ED=C'D$.
(2)存在,$α=60^{\circ }$或$240^{\circ }$.