《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

13. 如图，将一个直角的顶点$P$放在矩形$ABCD$的对角线$BD$上滑动，并使其一条直角边始终经过点$A$，另一条直角边与边$BC$相交于点$E$。且$AD = 8$，$DC = 6$，求$\frac{AP}{PE}$的值。

答案： 13.解:过点 P 作$PM\perp AB,PN\perp BC$,垂足分别是 M,N.$\because \angle APE=90^{\circ },\angle MPN=90^{\circ },\therefore \angle APM=\angle EPN.\therefore \triangle PMA\backsim \triangle PNE.\therefore \frac{AP}{PE}=\frac{PM}{PN}$.又$\because PM// DA,\therefore \triangle BPM\backsim \triangle BDA.\therefore \frac{BP}{BD}=\frac{PM}{DA}$.同理可得$\triangle BPN\backsim \triangle BDC.\therefore \frac{BP}{BD}=\frac{PN}{DC}.\therefore \frac{PM}{DA}=\frac{PN}{DC}$,即$\frac{PM}{PN}=\frac{DA}{DC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.\therefore \frac{AP}{PE}=\frac{PM}{PN}=\frac{4}{3}.$

14. (1)如图 1，在矩形$ABCD$中，$AD = 7$，$CD = 4$，$E$是$AD$上的一点，连接$CE$，$BD$，且$CE\perp BD$，则$\frac{CE}{BD}$的值为$\frac{4}{7}$；
(2)如图 2，在四边形$ABCD$中，$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$，$E$为$AB$上一点，连接$DE$，过点$C$作$DE$的垂线交$ED$的延长线于点$G$，交$AD$的延长线于点$F$。求证：$DE\cdot AB = CF\cdot AD$。

答案： 14.解:
(1)$\frac{4}{7}$
(2)证明:过点 C 作$CH\perp AF$,垂足为 H,则四边形 ABCH 为矩形.$\therefore AB=HC$.在$\triangle FCH$和$\triangle FDG$中,$\angle H=\angle G=90^{\circ },\angle CFH=\angle DFG,\therefore \angle FCH=\angle FDG=\angle ADE$.又$\because \angle A=\angle H=90^{\circ },\therefore \triangle DEA\backsim \triangle CFH.\therefore \frac{DE}{CF}=\frac{AD}{HC}.\therefore \frac{DE}{CF}=\frac{AD}{AB}.\therefore DE\cdot AB=CF\cdot AD.$