《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

对于反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $：(1)当 $ k ＞ 0 $ 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；(2)当 $ k ＜ 0 $ 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.

答案： 一、三 减小 二、四 增大

探究1 反比例函数的图象和性质
如图，它是反比例函数 $ y = \frac{m - 5}{x} $ 图象的一支，根据图象回答下列问题：
问题1：图象的另一支位于哪个象限？_______.
问题2：常数 $ m $ 的取值范围是什么？_______.
问题3：在函数图象的某一支上任取点 $ A(x_1,y_1) $ 和点 $ B(x_2,y_2) $，如果 $ x_1 ＞ x_2 $，那么 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 有怎样的大小关系？请说明理由.
问题4：将问题3中“某一支上”的条件去掉后，上述结论是否依然成立？

答案： 问题1：第三象限；问题2：m＞5；

探究2 反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 中 $ k $ 的几何意义

问题5：如图，从双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 上任意一点 $ P(x,y) $ 引 $ x $ 轴、$ y $ 轴的垂线，垂足分别为 $ A $，$ B $，则 $ OA = $_______，$ OB = $_______，$ \therefore $ 所围成的矩形 $ OAPB $ 的面积为_______=____.
问题6：连接 $ OP $，则 $ S_{\triangle PAO} = S_{\triangle PBO} = \frac{1}{2}S_{矩形OAPB} = $_______.

答案： 问题5：|x| |y| |xy|；问题6：$\frac{|k|}{2}$

1. 如图，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象经过点 $ P $.
(1)若已知矩形 $ PAOB $ 的面积为 $ 6 $，则 $ k = $6；
(2)连接 $ OP $.若已知 $ S_{\triangle OPA} = 4 $，则 $ k = $8.

答案： 1.
(1)6
(2)8

2. 若已知反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $ 的部分图象如图所示.

(1)矩形 $ PAOB $ 的面积为4；
(2)连接 $ OP $，则 $ S_{\triangle OPA} = $2.

答案： 2.
(1)4
(2)2

3.【例1】已知反比例函数 $ y = \frac{4}{x} $，用“$ ＞ $”或“$ ＜ $”填空：
(1)若点 $ (2,y_1) $，$ (3,y_2) $ 在该函数图象上，则 $ y_1 $____$ y_2 $；
(2)若点 $ (-2,y_3) $，$ (-3,y_4) $ 在该函数图象上，则 $ y_3 $____$ y_4 $；
(3)若点 $ (2,y_5) $，$ (-3,y_6) $ 在该函数图象上，则 $ y_5 $____$ y_6 $.

答案： 3.
(1)＞
(2)＜
(3)＞

4. 已知反比例函数 $ y = -\frac{4}{x} $，用“$ ＞ $”或“$ ＜ $”填空：
(1)若点 $ (2,y_1) $，$ (3,y_2) $ 在该函数图象上，则 $ y_1 $____$ y_2 $；
(2)若点 $ (-2,y_3) $，$ (-3,y_4) $ 在该函数图象上，则 $ y_3 $____$ y_4 $；
(3)若点 $ (2,y_5) $，$ (-3,y_6) $ 在该函数图象上，则 $ y_5 $____$ y_6 $.

答案： 4.
(1)＜
(2)＞
(3)＜