《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

答案： 相等 成比例

探究 1 相似三角形
问题 1：如何证明两个三角形相似？
依据相似多边形得到：如果两个三角形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
几何语言：∵$\angle A=\angle A',\angle B=\angle B',\angle C=\angle C'$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，
∴△ABC∽△A'B'C'。
问题 2：如何用更少的条件证明两个三角形相似？先来探究下面的问题。
探究 2 平行线分线段成比例
问题 3：如图 1，已知 AD//BE//CF，它们依次交直线 l₁，l₂于点 A，B，C 和点 D，E，F。通过度量线段 AB，BC，DE，EF 的长度，说明$\frac{AB}{BC}$与$\frac{DE}{EF}$相等吗？相等。你还能得到什么结论？



平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
问题 4：如图 2，AB//CD//EF，直线 AC 与直线 AF 交于点 A，依据问题 3，你又能得到什么结论？
问题 5：如图 3，l₁//l₂//l₃，直线 EC 与直线 DB 交于点 A，依据问题 3，你又能得到什么结论？
平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例。
思考：在△ABC 中，DE//BC，且 DE 分别交 AB，AC 于点 D，E，则△ADE 与△ABC 相似吗？你能证明吗？
探究 3 相似三角形判定的预备定理
相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

几何语言：如图，
∵DE//BC，
∴$\triangle ADE\backsim \triangle ABC$。

答案： 问题1:相等 相等 $\angle A=\angle A',\angle B=\angle B',\angle C=\angle C'$ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$ 问题3:解:相等 还能得到的结论:$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF},\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}.$ 平行线分线段成比例定理:成比例 平行线分线段成比例定理推论:对应 成比例 相似三角形判定的预备定理: $\triangle ADE\backsim \triangle ABC$