《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. 如何用判别式 $ b^2 - 4ac $ 来判断一元二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0) $ 根的情况？
2. 请说出二次函数 $ y = 2x^2 - x - 1 $ 的图象有哪些特殊的点？如何求出这些点的坐标？

答案： 1. 当$b^2 - 4ac ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$b^2 - 4ac = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$b^2 - 4ac ＜ 0$时，方程没有实数根。2. 顶点$(\frac{1}{4}, -\frac{9}{8})$，与x轴交点$(1, 0)$、$(-\frac{1}{2}, 0)$，与y轴交点$(0, -1)$。

探究 二次函数与一元二次方程的关系
问题:求下列抛物线与 $ x $ 轴、$ y $ 轴的交点坐标并填空.
| 填空：
①在方程 $ x^2 - 2x - 3 = 0 $ 中，$ \Delta $ ______ $ 0 $，方程有 ______ 实数根；
②如图，抛物线 $ y = x^2 - 2x - 3 $ 与 $ x $ 轴有 ______ 个交点. | 填空：
①在方程 $ x^2 - 6x + 9 = 0 $ 中，$ \Delta $ ______ $ 0 $，方程有 ______ 实数根；
②如图，抛物线 $ y = x^2 - 6x + 9 $ 与 $ x $ 轴有 ______ 个交点. | 填空：
①在方程 $ x^2 - 2x + 3 = 0 $ 中，$ \Delta $ ______________$00 $，方程_____________________实数根；______________
②如图，抛物线 $ y = x^2 - 2x + 3 $ 与 $ x $ 轴有_____________________个交点. |

小结:二次函数与一元二次方程的关系.
(1) 填表：

(2) 若抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ (m, 0) $，$ (n, 0) $，则方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ $ (a \neq 0) $ 的解为 $ x_1 = $ _______，$ x_2 = $ _______；
(3) 抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 与 $ y $ 轴有且只有 _______ 个交点，且交点坐标为 $ ( $ _______，_______ $ ) $.

答案： 问题：解：
(1)与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),与y轴的交点坐标为(0,-3). ①＞ 两个不相等的 ②2
(2)与x轴的交点坐标为(3,0),与y轴的交点坐标为(0,9). ①= 两个相等的 ②1
(3)与x轴无交点,与y轴的交点坐标为(0,3). ①＜ 无 ②0 小结:
(1)两个不相等的 2 两个相等的 1 无 0
(2)m n
(3)1 0 c