《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

3. 【例2】（教材九上P90习题T12变式）如图，实线为一条公路，公路有一段是圆弧（$\overset{\frown}{AB}$），已知AB=12米，CD=2米，半径OC⊥AB，求OA的长.

答案： 3.解:连接OA,设这段弯路的半径为r米，则$OD=(r−2)$米.
∵$OC⊥AB$，垂足为D，$AB=12$米，
∴$AD=BD=\frac{1}{2}AB=6$米.在$Rt△ODA$中，$OD^{2}+AD^{2}=OA^{2}$，即$(r−2)^{2}+6^{2}=r^{2}$，解得$r=10$.
∴OA的长为10米.

4. 如图所示的是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.若M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=8 m，EM=8 m，求⊙O的半径.

答案： 4.解:连接OC.
∵M是弦CD的中点，$CD=8m$，
∴$EM⊥CD$，$CM=DM=\frac{1}{2}CD=4m$.设$\odot O$的半径为x m.在$Rt△COM$中，由勾股定理，得$OC^{2}=CM^{2}+OM^{2}$，即$x^{2}=4^{2}+(8−x)^{2}$，解得$x=5$.
∴$\odot O$的半径为5m.

5. 如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径为(C)


A.3
B.4
C.5
D.6

答案： 5.C

6. 如图，水管横截面⊙O的半径为13 cm，水面宽AB=24 cm，求水的最大深度.

答案： 6.解:过点O作$OC⊥AB$于点C，延长CO交优弧AB于点D，连接OA.
∵$OA=OD=13cm$，$AB=24cm$，
∴$AC=BC=12cm$.在$Rt△AOC$中，$OC=\sqrt {OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt {13^{2}-12^{2}}=5(cm)$，
∴$CD=CO+OD=5+13=18(cm)$.
∴水的最大深度为18cm.

7. 新考向 传统文化《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？(1尺=10寸)
答：圆材直径26寸.

答案： 7.26

8. 如图，AB，CD分别是⊙O的两条弦，M，N分别是AB，CD的中点，连接OM，ON.若ON=$\frac{1}{2}$AB，求证：OM=$\frac{1}{2}$CD.

答案： 8.证明:连接OC,OA.
∵M是AB的中点，AB是$\odot O$的弦，
∴$AM=\frac{1}{2}AB$，$OM⊥AB$.同理可得，$CN=\frac{1}{2}CD$，$ON⊥CD$.
∵$ON=\frac{1}{2}AB$，
∴$ON=AM$.在$Rt△AOM$和$Rt△OCN$中，$\left\{\begin{array}{l} OA=CO\\ AM=ON\end{array}\right.$，
∴$Rt△AOM\cong Rt△OCN(HL)$，
∴$OM=CN$，
∴$OM=\frac{1}{2}CD$.