《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

2.【例 2】已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(2m - 1)x + m^{2}=0$ 有两个不相等的实数根。
(1)求 $m$ 的取值范围；
(2)设方程的两个实数根为 $\alpha,\beta$，且 $\alpha^{2}+\beta^{2}=1$，求 $m$ 的值。

答案： 2.解:
(1)根据题意,得$\Delta =(2m-1)^{2}-4m^{2}＞0$,解得$m＜\frac {1}{4}$.
(2)根据根与系数的关系,得$\alpha +\beta =-(2m-1),\alpha \beta =m^{2}.\because \alpha ^{2}+\beta ^{2}=1,\therefore (\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta =1.\therefore [-(2m-1)]^{2}-2m^{2}=1$.整理,得$m^{2}-2m=0$,解得$m_{1}=0,m_{2}=2.\because m＜\frac {1}{4},\therefore m$的值为0.

3. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(2m + 1)x + m^{2}-2 = 0$。
(1)若该方程有两个实数根，求 $m$ 的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为 $x_{1},x_{2}$，且 $(x_{1}-x_{2})^{2}+m^{2}=21$，求 $m$ 的值。

答案： 3.解:
(1)根据题意,得$\Delta =(2m+1)^{2}-4(m^{2}-2)\geq 0$,解得$m\geq -\frac {9}{4}$.$\therefore m$的最小整数值为-2.
(2)根据题意,得$x_{1}+x_{2}=-(2m+1),x_{1}x_{2}=m^{2}-2.\because (x_{1}-x_{2})^{2}+m^{2}=21,\therefore (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}+m^{2}=21.\therefore [-(2m+1)]^{2}-4(m^{2}-2)+m^{2}=21$.整理,得$m^{2}+4m-12=0$,解得$m_{1}=2,m_{2}=-6.\because m\geq -\frac {9}{4},\therefore m$的值为2.

4. (2024·东莞期末)已知 $m,n$ 是一元二次方程 $x^{2}-4x - 3 = 0$ 的两个实数根，则 $m + n$ 的值为(A)

A.4
B.3
C.$-3$
D.$-4$

答案： 4.A

5. (2024·东莞月考)若 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^{2}-6x - 7 = 0$ 的两个根，则(A)

A.$x_{1}+x_{2}=6$
B.$x_{1}+x_{2}=-6$
C.$x_{1}x_{2}=\frac{7}{6}$
D.$x_{1}x_{2}=7$

答案： 5.A

6. (2024·佛山禅城区期末)若关于 $x$ 的方程 $x^{2}+kx - 8 = 0$ 的一个根是 2，则另一个根是 。-4

答案： 6.-4

7. 新考向 开放性问题 (2024·佛山南海区期末)请写出一个关于 $x$ 的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 。

答案： 7.$x^{2}-2x-3=0$(答案不唯一)

8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-(k - 3)x + k - 5 = 0$。
(1)求证：无论 $k$ 取何实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当 $k = 11$ 时，该方程的两个根分别是菱形 $ABCD$ 的两条对角线的长，求菱形 $ABCD$ 的面积。

答案： 8.解:
(1)证明:$\because \Delta =[-(k-3)]^{2}-4×1×(k-5)=k^{2}-10k+29=(k-5)^{2}+4＞0$,
∴无论k取何实数值,该方程总有两个不相等的实数根.
(2)当$k=11$时,原方程为$x^{2}-8x+6=0,\therefore x_{1}x_{2}=6$.$\therefore S_{菱形ABCD}=\frac {1}{2}x_{1}x_{2}=\frac {1}{2}×6=3.$