《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. 说出二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $，$ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 $，$ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $ 的图象的顶点坐标、对称轴、最值及增减性。

答案： 函数 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $
顶点坐标：$(0, 0)$
对称轴：直线 $ x = 0 $（y轴）
最值：最大值为 $ 0 $（当 $ x = 0 $ 时取得）
增减性：
当 $ x ＜ 0 $ 时，y随x的增大而增大；
当 $ x ＞ 0 $ 时，y随x的增大而减小。
函数 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 $
顶点坐标：$(-1, 0)$
对称轴：直线 $ x = -1 $
最值：最大值为 $ 0 $（当 $ x = -1 $ 时取得）
增减性：
当 $ x ＜ -1 $ 时，y随x的增大而增大；
当 $ x ＞ -1 $ 时，y随x的增大而减小。
函数 $ y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $
顶点坐标：$(-1, -1)$
对称轴：直线 $ x = -1 $
最值：最大值为 $ -1 $（当 $ x = -1 $ 时取得）
增减性：
当 $ x ＜ -1 $ 时，y随x的增大而增大；
当 $ x ＞ -1 $ 时，y随x的增大而减小。

2. 填空：(1) $ x^2 + 4x + $4$ = (x + $2$)^2 $；(2) $ x^2 - 6x + $9$ = (x - $3$)^2 $。

答案： 2.
(1)4 2
(2)9 3

问题1：你能否把二次函数 $ y = x^2 + 2x + 2 $ 化成 $ y = a(x - h)^2 + k(a \neq 0) $ 的形式？这个方法是什么？

答案： 能。
$y=x^2+2x+2$
$=x^2+2x+1-1+2$
$=(x+1)^2+1$
方法：配方法。

问题2：填空并回答：怎样将 $ y = \frac{1}{2}x^2 + 6x - 21 $ 化成 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式？第一步中能不能左右两边直接除掉 $ \frac{1}{2} $？说一说配方的方法及步骤？
解：$ y = \frac{1}{2}x^2 + 6x - 21 $
$ = \frac{1}{2}(x^2 + 12x) - 21 $ 第一步：提(二次项、一次项提取二次项系数)
$ = \frac{1}{2}(x^2 + 12x + $6²$ - $6²$) - 21 $ 第二步：配(括号内配成完全平方式)
$ = \frac{1}{2}[(x + $6$)^2 - $36$] - 21 $
$ = \frac{1}{2}(x + $6$)^2 - $18$ - 21 $
$ = \frac{1}{2}(x + $6$)^2 - $39$ $ 第三步：化(化成顶点式)

答案： 2.6² 6² 完全平方 6 36 6 18 6 39 顶点

问题3：根据上问请回答 $ y = \frac{1}{2}x^2 + 6x - 21 $ 的顶点坐标是什么？对称轴、最值是什么？

答案： 首先，将给定的二次函数 $y = \frac{1}{2}x^{2} + 6x - 21$ 进行配方。
原式：
$y = \frac{1}{2}x^{2} + 6x - 21$
为了配方，我们需要将二次项和一次项组合，并加上和减去相同的数，使其成为完全平方的形式：
$y = \frac{1}{2}(x^{2} + 12x) - 21$
为了完成平方，我们加上和减去 $(\frac{12}{2})^{2} = 36$：
$y = \frac{1}{2}(x^{2} + 12x + 36 - 36) - 21$
$y = \frac{1}{2}((x + 6)^{2} - 36) - 21$
$y = \frac{1}{2}(x + 6)^{2} - 18 - 21$
$y = \frac{1}{2}(x + 6)^{2} - 39$
从上述表达式中，我们可以直接读出：
顶点坐标为 $(-6, -39)$。
对称轴为 $x = -6$。
因为二次项系数为正，所以函数开口向上，顶点处取得最小值，即最小值为 $-39$，无最大值。

知识点1 “$ a = 1 $，$ b $ 为偶数”型
1. 【例1】利用配方法把二次函数 $ y = x^2 + 6x - 1 $ 化为 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式，并写出其图象的开口方向、顶点坐标和对称轴。

答案： 1.解:$y=x^{2}+6x+9-9-1=(x+3)^{2}-10$.图象的开口向上,顶点坐标为$(-3,-10)$,对称轴为直线$x=-3$.

2. 利用配方法将二次函数 $ y = x^2 - 8x + 1 $ 化为 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式，并写出其图象的开口方向、顶点坐标和对称轴。

答案： 2.解:$y=x^{2}-8x+16-16+1=(x-4)^{2}-15$.图象的开口向上,顶点坐标为$(4,-15)$,对称轴为直线$x=4$.