《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

知识点2 “$ a = 1 $，$ b $ 为奇数”型
3. 【例2】求抛物线 $ y = x^2 - x + 1 $ 的顶点坐标。

答案： 3.解:$y=x^{2}-x+(\frac {1}{2})^{2}-(\frac {1}{2})^{2}+1=(x-\frac {1}{2})^{2}+\frac {3}{4}$,$\therefore$顶点坐标为$(\frac {1}{2},\frac {3}{4})$.

4. 求抛物线 $ y = x^2 + 3x - 2 $ 的顶点坐标。

答案： 4.解:$y=x^{2}+3x+(\frac {3}{2})^{2}-(\frac {3}{2})^{2}-2=(x+\frac {3}{2})^{2}-\frac {17}{4}$,$\therefore$顶点坐标为$(-\frac {3}{2},-\frac {17}{4})$.

知识点3 “$ a \neq 1 $”型
5. 【例3】求二次函数 $ y = -2x^2 + 12x - 5 $ 的最大值。

答案： 5.解:$y=-2(x^{2}-6x+9-9)-5=-2(x-3)^{2}+18-5=-2(x-3)^{2}+13$.$\because -2＜0$,$\therefore$当$x=3$时,$y$取最大值,最大值为13.

6. 求二次函数 $ y = \frac{3}{2}x^2 - 3x + 1 $ 的最小值。

答案： 6.解:$y=\frac {3}{2}(x^{2}-2x+1-1)+1=\frac {3}{2}(x-1)^{2}-\frac {3}{2}+1=\frac {3}{2}(x-1)^{2}-\frac {1}{2}$.$\because \frac {3}{2}＞0$,$\therefore$当$x=1$时,$y$取最小值,最小值为$-\frac {1}{2}$.

7. 将二次函数 $ y = x^2 - 2x $ 化为顶点式 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的形式为(B)

A.$ y = (x - 1)^2 + 1 $
B.$ y = (x - 1)^2 - 1 $
C.$ y = (x + 1)^2 + 4 $
D.$ y = (x - 1)^2 - 4 $

答案： 7.B

8. 用配方法把下列二次函数化成顶点式，并写出其开口方向、对称轴及顶点坐标。
(1) $ y = x^2 - 4x + 5 $；
(2) $ y = x^2 + 3x $；
(3) $ y = -2x^2 + 5x - 1 $；
(4) $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 1 $。

答案： 8.解:
(1)$y=(x-2)^{2}+1$,开口向上,对称轴为直线$x=2$,顶点坐标为$(2,1)$.
(2)$y=(x+\frac {3}{2})^{2}-\frac {9}{4}$,开口向上,对称轴为直线$x=-\frac {3}{2}$,顶点坐标为$(-\frac {3}{2},-\frac {9}{4})$.
(3)$y=-2(x-\frac {5}{4})^{2}+\frac {17}{8}$,开口向下,对称轴为直线$x=\frac {5}{4}$,顶点坐标为$(\frac {5}{4},\frac {17}{8})$.
(4)$y=-\frac {1}{2}(x-3)^{2}+\frac {7}{2}$,开口向下,对称轴为直线$x=3$,顶点坐标为$(3,\frac {7}{2})$.

9. 新考向 推理能力 抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 - x - 1 $ 可由抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 怎样平移得到？

答案： 9.解:$y=-\frac {1}{2}x^{2}-x-1$配方,得$y=-\frac {1}{2}(x+1)^{2}-\frac {1}{2}$,故抛物线$y=-\frac {1}{2}x^{2}$先向左平移1个单位长度,再向下平移$\frac {1}{2}$个单位长度可得到抛物线$y=-\frac {1}{2}(x+1)^{2}-\frac {1}{2}$.

10. 抛物线 $ y = x^2 - 2x + m^2 + 2 $($ m $ 是常数)的顶点在(A)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 10.A