《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的根的判别式是 $\Delta=$$b^{2}-4ac$，求根公式为 $x=$ 。$\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$

答案： $b^{2}-4ac$ $\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$

问题 1：若一元二次方程的两根为 $x_{1},x_{2}$，则有 $x - x_{1}=0$，且 $x - x_{2}=0$，那么方程 $(x - x_{1})(x - x_{2}) = 0$（$x_{1},x_{2}$ 为已知数）的两根为$x_{1},x_{2}$，将方程化为 $x^{2}+px + q = 0$ 的形式，你能看出 $x_{1},x_{2}$ 与 $p,q$ 之间的关系吗？
$x_{1}+x_{2}=$$-p$；$x_{1}x_{2}=$ 。$q$

答案： 问题1:$x_{1},x_{2}$ $-p$ $q$

问题 2：探究一般的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 两根和、两根积与 $a,b,c$ 的关系：
(1)$x_{1}+x_{2}=$+= ；
(2)$x_{1}x_{2}=$ ·= 。

答案： 问题2:
(1)$\frac {-b-\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac {-b+\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$ $-\frac {b}{a}$
(2)$\frac {-b-\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac {-b+\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}$ $\frac {c}{a}$

小结：
一元二次方程根与系数的关系：若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的两根分别为 $x_{1}$，$x_{2}$，则两根之和 $x_{1}+x_{2}=$_______，两根之积 $x_{1}x_{2}=$_______，该关系使用的前提条件是 。_______

答案： 小结:$-\frac {b}{a}$ $\frac {c}{a}$ $\Delta \geq 0$

1.【例 1】若一元二次方程 $2x^{2}-3x - 1 = 0$ 的两个根分别为 $x_{1},x_{2}$，则：
(1)$x_{1}+x_{2}=$ ；$\frac {3}{2}$(2)$x_{1}x_{2}=$ ；$-\frac {1}{2}$
(3)求 $(x_{1}+1)(x_{2}+1)$ 的值； (4)求 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$ 的值； (5)求 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ 的值。
小结：常见变形。
(1)$x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}=x_{1}x_{2}\cdot$$(x_{1}+x_{2})$；(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=$$\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$；(3)$(x_{1}+2)(x_{2}+2)=x_{1}x_{2}+$$2(x_{1}+x_{2})$+4；(4)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-$$2x_{1}x_{2}$；(5)$(x_{1}-x_{2})^{2}=$$(x_{1}+x_{2})^{2}$$-4x_{1}x_{2}$。

答案： 1.解:
(1)$\frac {3}{2}$
(2)$-\frac {1}{2}$
(3)原式$=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=-\frac {1}{2}+\frac {3}{2}+1=2$.
(4)原式$=\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac {\frac {3}{2}}{-\frac {1}{2}}=-3$.
(5)原式$=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(\frac {3}{2})^{2}-2×(-\frac {1}{2})=\frac {9}{4}+1=\frac {13}{4}.$
小结:
(1)$(x_{1}+x_{2})$
(2)$\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$
(3)$2(x_{1}+x_{2})$ 4
(4)$2x_{1}x_{2}$
(5)$(x_{1}+x_{2})^{2}$