《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

7. (2023·广州增城区期末) 如图，$AD$，$BC$ 相交于点 $P$，连接 $AC$，$BD$，且 $\angle 1 = \angle 2$，$AC = 6$，$CP = 4$，$DP = 2$，求 $BD$ 的长。

答案： 7.解:
∵∠1=∠2,∠APC=∠BPD,
∴△APC∽△BPD.
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{CP}{DP}$.
∵AC=6,CP=4,DP=2,
∴$\frac{6}{BD}=\frac{4}{2}$,解得BD=3.

8. 如图，$AC$ 平分 $\angle BAD$，$\angle B = \angle ACD$。
(1) 求证：$\triangle ABC\backsim\triangle ACD$；
(2) 若 $AB = 2$，$AC = 3$，求 $AD$ 的长。

答案： 8.解:
(1)证明:
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠CAD.又
∵∠B=∠ACD,
∴△ABC∽△ACD.
(2)
∵△ABC∽△ACD,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$,即$\frac{2}{3}=\frac{3}{AD}$,解得$AD=\frac{9}{2}$.

9. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$，$E$ 分别在边 $AB$，$AC$ 上，下列四个条件：① $\angle AED = \angle B$；② $DE// BC$；③ $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$；④ $AD\cdot BC = DE\cdot AC$。其中能满足 $\triangle ADE\backsim\triangle ACB$ 的有 (B)

A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

答案： 9.B

10. 如图，$\triangle ABC$ 内接于 $\odot O$，$AD\perp BC$，$AE$ 是 $\odot O$ 的直径。求证：$AB\cdot AC = AD\cdot AE$。

答案： 10.证明:连接BE.
∵AD⊥BC,AE是⊙O的直径,
∴∠ABE=∠ADC=90°.
∵∠E=∠C,
∴△ABE∽△ADC.
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$.
∴AB·AC=AD·AE.

11. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，$AD$ 平分 $\angle CAB$，$BD$ 是 $\odot O$ 的切线，$AD$ 与 $BC$ 相交于点 $E$，与 $\odot O$ 相交于点 $F$，连接 $EF$。
(1) 求证：$BD = BE$；
(2) 若 $DE = 4$，$BD = 2\sqrt{5}$，求 $AE$ 的长。

答案： 11.解:
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠CAE+∠CEA=90°.
∵∠BED=∠CEA,
∴∠CAE+∠BED=90°.
∵BD是⊙O的切线,
∴∠ABD=90°.
∴∠BAD+∠D=90°.又
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAE=∠BAD.
∴∠BED=∠D.
∴BD=BE.
(2)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AFB=90°.又
∵BE=BD,
∴DF=EF=$\frac{1}{2}DE=2$.
∵∠D=∠D,∠BFD=∠ABD=90°,
∴△BDF∽△ADB.
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{DF}{DB}$,即$\frac{2\sqrt{5}}{AD}=\frac{2}{2\sqrt{5}}$,解得AD=10.
∴AE=AD-DE=6.