《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

3. (2024·广州番禺区期中)$ x=\frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4×2×1}}{2×2} $ 是下列哪个一元二次方程的根(A)

A.$ 2x^{2}+3x+1 = 0 $
B.$ 2x^{2}-3x+1 = 0 $
C.$ 2x^{2}+3x-1 = 0 $
D.$ 2x^{2}-3x-1 = 0 $

答案： A

4. 用公式法解方程：
(1) $ x^{2}+3x+2 = 0 $；
(2) $ x^{2} = 6x - 9 $.

答案：
(1) 对于方程 $x^{2} + 3x + 2 = 0$：
首先确定系数 $a = 1, b = 3, c = 2$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 3^{2} - 4 × 1 × 2 = 9 - 8 = 1$
由于 $\Delta ＞ 0$，方程有两个不相等的实根。
使用公式法求解，得到：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2}$
因此，解得：
$x_{1} = -1, \quad x_{2} = -2$
(2) 对于方程 $x^{2} = 6x - 9$：
首先，将方程整理为标准形式：
$x^{2} - 6x + 9 = 0$
确定系数 $a = 1, b = -6, c = 9$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-6)^{2} - 4 × 1 × 9 = 36 - 36 = 0$
由于 $\Delta = 0$，方程有两个相等的实根。
使用公式法求解，得到：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{6}{2} = 3$
因此，解得：
$x_{1} = x_{2} = 3$

5. 用公式法解方程：
(1) $ \frac{1}{2}x^{2}-\sqrt{3}x+2 = 0 $；
(2) $ x(x - 4) = 2 - 8x $.

答案：
(1)方程化为一般形式：$\frac{1}{2}x^{2}-\sqrt{3}x+2=0$，其中$a=\frac{1}{2}$，$b=-\sqrt{3}$，$c=2$。
$\Delta=b^{2}-4ac=(-\sqrt{3})^{2}-4×\frac{1}{2}×2=3 - 4=-1＜0$，
∴方程无实数根。
(2)方程化为一般形式：$x^{2}+4x - 2=0$，其中$a=1$，$b=4$，$c=-2$。
$\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4×1×(-2)=16 + 8=24＞0$，
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2}=\frac{-4\pm2\sqrt{6}}{2}=-2\pm\sqrt{6}$，
∴$x_{1}=-2+\sqrt{6}$，$x_{2}=-2-\sqrt{6}$。

6. 已知关于 $ x $ 的方程 $ mx^{2}-(m - 2)x - 2m = x^{2} $.
(1) 当 $ m $ 取何值时，该方程是一元二次方程？
(2) 求出这个方程的解.（可用含 $ m $ 的式子表示）

答案：
(1) 将方程$mx^{2} - (m - 2)x - 2m = x^{2}$整理为一般形式：
$(m - 1)x^{2} - (m - 2)x - 2m = 0$
根据一元二次方程的定义，二次项系数$m - 1 \neq 0$，即：
$m \neq 1$
所以当$m \neq 1$时，该方程是一元二次方程。
(2) 当$m \neq 1$时，方程为$(m - 1)x^{2} - (m - 2)x - 2m = 0$，
这里$a = m - 1$，$b = -(m - 2)$，$c = -2m$，
根据求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$，
先计算判别式$b^{2} - 4ac$：
$b^{2}-4ac=[-(m - 2)]^{2}-4×(m - 1)×(-2m)$
$=m^{2}-4m + 4+8m^{2}-8m$
$=9m^{2}-12m + 4$
$=(3m - 2)^{2}$
将$a = m - 1$，$b = -(m - 2)$，$\Delta=(3m - 2)^{2}$代入求根公式可得：
$x=\frac{m - 2\pm\sqrt{(3m - 2)^{2}}}{2(m - 1)}=\frac{m - 2\pm(3m - 2)}{2(m - 1)}$
则$x_{1}=\frac{m - 2+(3m - 2)}{2(m - 1)}=\frac{4m - 4}{2(m - 1)} = 2$，
$x_{2}=\frac{m - 2-(3m - 2)}{2(m - 1)}=\frac{-2m}{2(m - 1)}=-\frac{m}{m - 1}$
当$m = 1$时，方程为$(1 - 1)x^{2}-(1 - 2)x-2×1 = 0$，即$x - 2 = 0$，解得$x = 2$。
综上，当$m\neq1$时，方程的解为$x_{1}=2$，$x_{2}=-\frac{m}{m - 1}$；当$m = 1$时，方程的解为$x = 2$（可合并写为方程的解为$x_{1}=2$，$x_{2}=-\frac{m}{m - 1}(m\neq1)$）。