《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

如图，用长为18m的篱笆(虚线部分)，两面靠墙(墙足够长)围成矩形的苗圃。

(1)设矩形的一边为x(m)，面积为y(m²)，则y关于x的函数关系式是$y=-x^{2}+18x$，自变量x的取值范围是$0＜x＜18$；
(2)当x=9时，所围苗圃的面积最大，最大面积为81m²。

答案：
(1)$y=-x^{2}+18x$ $0＜x＜18$
(2)9 81

问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？
问题2：利润随着哪些量在变化？
问题3：这个问题分几种情况分析？

答案： 问题1：定价65元时利润最大，最大利润6250元；问题2：商品售价（或价格调整幅度）；问题3：两种情况。

1.【例】（2024·广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美。某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨。市场调查反映，如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨。该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值。

答案： 设降价$x$万元，则定价为$(5 - x)$万元/吨，销售量为$(100 + 50x)$吨。
首先考虑利润，每吨利润为$(5 - x - 2)$万元，总利润$y_{1}$为：
$y_{1} = (5 - x - 2)(100 + 50x)$
$ = (3 - x)(100 + 50x)$
$ = - 50x^{2} + 50x + 300 $
$= - 50(x - 0.5)^{2} + 312.5$
由于二次项系数为负，这是一个开口向下的抛物线，因此当$x = 0.5$时，利润最大，最大利润为$312.5$万元，此时定价为$5-0.5=4.5$万元/吨；
接着考虑销售收入，销售收入$y_{2}$为：
$y_{2} = (5 - x)(100 + 50x)$
$ = - 50x^{2} + 150x + 500 $
$= - 50(x - 1.5)^{2} + 612.5$
同样，这也是一个开口向下的抛物线，因此当$x = 1.5$时，销售收入最大，最大销售收入为$612.5$万元，此时定价为$5-1.5=3.5$万元/吨。
综合以上两种情况，如果追求最大利润，定价应为$4.5$万元/吨，最大利润为$312.5$万元；如果追求最大销售收入，定价应为$3.5$万元/吨，最大销售收入为$612.5$万元。

2.某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示。
(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

答案：
(1) 设 $y = kx + b$，由图可知，当 $x = 40$ 时，$y = 300$；当 $x = 55$ 时，$y = 150$。
代入得：
$\begin{cases}40k + b = 300, \\55k + b = 150.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k = -10, \\b = 700.\end{cases}$
所以 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为：$y = -10x + 700$。
(2) 根据题意，销售量不低于 240 件，即：
$-10x + 700 \geq 240$，
解得：
$x \leq 46$，
设每天获取的利润为 $w$ 元，则：
$w = (x - 30) × y = (x - 30) × (-10x + 700)$
$= -10x^2 + 1000x - 21000$
$= -10(x - 50)^2 + 4000$
由于 $a = -10 ＜ 0$，函数开口向下，对称轴为 $x = 50$。
因为 $x \leq 46$，所以在对称轴左侧，$w$ 随 $x$ 增大而增大。
因此，当 $x = 46$ 时，$w$ 取得最大值：
$w_{最大} = -10 × (46 - 50)^2 + 4000 = 3840 (元)$，
所以当销售单价为 46 元时，每天获取的利润最大，最大利润是 3840 元。