《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

3. 【例2】有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，建立如图所示的平面直角坐标系。
（1）求这条抛物线所对应的函数解析式；
（2）在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少？

答案： 3. 解:
(1)由题意可知,抛物线的顶点坐标为(5,4),所以设此桥洞所对应的二次函数关系式为y = a(x - 5)² + 4(a≠0).由图象知该函数过原点,将O(0,0)代入上式,得0 = a(0 - 5)² + 4,解得a = -$\frac{4}{25}$.
∴二次函数的解析式为y = -$\frac{4}{25}$(x - 5)² + 4.
(2)对称轴右边1米处即x = 6,此时y = -$\frac{4}{25}$(6 - 1)² + 4 = 3.84.故桥洞离水面的高为3.84米.

4. 如图，要修建一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离中心3m。
（1）在图中建立合适的平面直角坐标系；
（2）求出水管的长度。

答案： 4. 解:
(1)建立平面直角坐标系如图.
(2)设抛物线的解析式为y = a(x - 1)² + 3(0≤x≤3)(a≠0).将(3,0)代入,得0 = 4a + 3,解得a = -$\frac{3}{4}$.
∴抛物线的解析式为y = -$\frac{3}{4}$(x - 1)² + 3(0≤x≤3).令x = 0,则y = 2.25.
∴水管的长度为2.25m.

5. 新考向 抽象能力 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线$y = \frac{4}{9}x^2 + 5$的一部分，则奖杯的口径AC为(C)

A.7
B.8
C.9
D.10

答案： 5. C

6. 下图是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度为6m时，水深3m，当水面上升1m时，水面宽度为多少米？

答案： 6. 解:水面宽度为4$\sqrt{3}$m.

7. 如图，这是甲、乙两人进行羽毛球练习赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度$y(m)$与水平距离$x(m)$的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m。羽毛球沿水平方向运动4m时，达到羽毛球距离地面最大高度是$\frac{5}{3}m$。
（1）求羽毛球经过的路线对应的函数关系式；
（2）通过计算判断此球能否过网。

答案： 7. 解:
(1)依题意,得抛物线的顶点坐标为(4,$\frac{5}{3}$).故设函数的解析式为y = a(x - 4)² + $\frac{5}{3}$.将点(0,1)代入,得1 = a(0 - 4)² + $\frac{5}{3}$,解得a = -$\frac{1}{24}$.
∴羽毛球经过的路线对应的函数关系式为y = -$\frac{1}{24}$(x - 4)² + $\frac{5}{3}$.
(2)在y = -$\frac{1}{24}$(x - 4)² + $\frac{5}{3}$中,当x = 5时,y = -$\frac{1}{24}$×(5 - 4)² + $\frac{5}{3}$ = $\frac{13}{8}$ = 1.625.
∵1.625＞1.55,
∴通过计算判断此球能过网.