《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

如图，抛物线$y = x^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，$OA = OC = 3$，连接$AC$。
【知识技能】
(1)求此抛物线的解析式；
【构建联系】
(2)在$AC$下方的抛物线上有一点$N$，过点$N$作$ND// y$轴，交$AC$于点$M$，交$x$轴于点$D$，当点$N$的坐标为多少时，线段$MN$的长度最大？最大是多少？
(3)在$y$轴上找一点$Q$，使得$\triangle ACQ$为等腰三角形，直接写出点$Q$的坐标。

答案：
(1)
∵OA=OC=3,
∴A(-3,0),C(0,-3).把A(-3,0),C(0,-3)代入y=x²+bx+c,得{9-3b+c=0,c=-3,解得{b=2,c=-3.
∴此抛物线的解析式为y=x²+2x-3.
(2)设直线AC的解析式为y=kx+m.把A(-3,0),C(0,-3)代入y=kx+m,得{-3k+m=0,m=-3,解得{k=-1,m=-3.
∴直线AC的解析式为y=-x-3.设点N的坐标为(x,x²+2x-3),则点M的坐标为(x,-x-3).
∴DN=-(x²+2x-3)=-x²-2x+3,DM=-(-x-3)=x+3.
∴MN=DN-DM=-x²-2x+3-(x+3)=-x²-3x=-(x+3/2)²+9/4.
∵-1＜0,
∴当x=-3/2时,MN有最大值,最大值为9/4.此时y=x²+2x-3=-15/4.
∴点N的坐标为(-3/2,-15/4).
(3)
∵OA=OC=3,
∴AC=√(OC²+OA²)=3√2.①当AC为底边时,AQ=CQ,
∴点Q的坐标为(0,0);②当AC为腰时,AQ=AC=3√2或CQ=AC=3√2,
∴点Q的坐标为(0,3)或(0,-3-3√2)或(0,3√2-3).综上所述,点Q的坐标为(0,0)或(0,3)或(0,-3-3√2)或(0,3√2-3).