《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

4. (2024·广东)如图，在△ABC 中，∠C = 90°。
(1)实践与操作：用尺规作图法作∠A 的平分线 AD 交 BC 于点 D；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与证明：在(1)的条件下，以点 D 为圆心，DC 的长为半径作⊙D。求证：AB 与⊙D 相切。

答案：
解:
(1)
(2)证明:过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.
∵AD 平分∠BAC,∠C=90°,
∴DE=CD.
∴DE 为⊙D 的半径.
∴AB 与⊙D 相切.

5. 如图，AB 为⊙O 的直径，过圆上一点 D 作⊙O 的切线 CD 交 BA 的延长线于点 C，过点 O 作 OE // AD 交 CD 的延长线于点 E，连接 BE。
(1)直线 BE 与⊙O 相切吗？并说明理由；
(2)若 CA = 2，CD = 4，求 AB 的长。

答案： 解:
(1)直线 BE 与⊙O 相切.理由:连接 OD.
∵CD 与⊙O 相切于点 D,
∴OD⊥CD.
∵AD//BC,
∴∠ADO=∠EOB.
∵OD=OA,
∴∠ADO=∠DAO.
∴∠DOE=∠EOB.又
∵OD=OB,OE=OE,
∴△DOE≌△BOE(SAS).
∴∠OBE=∠ODE=90°.
∴OB⊥BE.又
∵OB 是⊙O 的半径,
∴直线 BE 与⊙O 相切.
(2)设⊙O 的半径为 r,则 OC=r+2.在 Rt△ODC 中,OD²+DC²=OC²,
∴r²+4²=(r+2)²,解得 r=3.
∴AB=2r=6.

6. (2023·汕头潮南区期末)如图，在矩形 ABCD 中，⊙O 经过点 A，且与边 BC 相切于点 M，⊙O 过边 CD 上的点 N，且 CM = CN。
(1)求证：CD 与⊙O 相切；
(2)若 BE = 2，AE = 6，求 BC 的长。

答案： 解:
(1)证明:连接 OM,ON,MN.
∵CM=CN,OM=ON,
∴∠CMN=∠CNM.
∵⊙O 与 BC 相切于点 M,
∴OM⊥BC.
∴∠OMC=∠OMN+∠CMN=90°.
∴∠ONC=∠ONM+∠CNM=90°.
∴ON⊥CD.
∵ON 是⊙O 的半径,
∴CD 与⊙O 相切.
(2)过点 O 作 OG⊥AB 于点 G,连接 OE.
∴GE=$\frac {1}{2}$AE=3.
∴BG=BE+GE=5.
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠B=∠C=90°.又
∵OM⊥BC,
∴四边形 OGBM 是矩形.
∴BM=OG,OM=BG=OE=ON=5.
∴OG=$\sqrt {OE^{2}-GE^{2}}$=4.
∴BM=4.
∵∠C=90°,OM⊥BC,ON⊥CD,
∴四边形 OMCN 是矩形.
∴MC=ON=5.
∴BC=BM+CM=9.