《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

观察下面两组图形，它们是相似图形.

答案： 相似

探究 相似多边形的定义(性质和判定)
问题 1：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似用符号“$\backsim$”表示.
问题 2：对应角的关系：相等；对应边的关系：成比例.
问题 3：相似多边形对应边的比叫做相似比，记作$k$.当相似比等于$1$时，这两个图形全等.
问题 4：相似多边形的性质的几何语言：如图，

$\because$四边形$ABCD \backsim$四边形$A'B'C'D'$，
$\therefore$∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',∠D=∠D',$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}$.
相似多边形的判定的几何语言：如图，
$\because$∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',∠D=∠D',$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}$，
$\therefore$四边形$ABCD \backsim$四边形$A'B'C'D'$.
思考：对应边的比都相等的两个多边形一定相似吗？对应角都相等的两个多边形一定相似吗？如果不是，请你举出反例.

答案： 问题1:相等 成比例；问题2:相等 成比例；问题3:对应边 全等；问题4:∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',∠D=∠D',$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}$ ∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',∠D=∠D',$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}$；思考:解:对应边的比都相等的两个多边形不一定相似,如菱形和正方形;对应角相等的两个多边形不一定相似,如矩形和正方形.

1. 【例 1】(教材九下 P26 例变式)如图，四边形$ABCD \backsim$四边形$A'B'C'D'$.
(1)相似比$k=$$\frac{3}{2}$；
(2)求$x$，$y$的值和$\angle \alpha$的度数.

答案： 1.解:
(1)$\frac{3}{2}$
(2)
∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',
∴∠D'=∠D=140°,∠α=∠C,$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$.
∴∠C=360°-∠A-∠B-∠D=83°,$\frac{9}{6}=\frac{y}{11}=\frac{x}{8}$.
∴∠α=83°,x=12,y=16.5.

2. 如图，四边形$ABCD \backsim$四边形$EFGH$.
(1)相似比$k=$$\frac{3}{4}$；
(2)求$\angle \alpha$，$\angle \beta$的度数和$EH$的长度.

答案： 2.解:
(1)$\frac{3}{4}$
(2)
∵四边形ABCD∽四边形EFGH,
∴∠B=∠α=83°,∠D=∠H=118°,$\frac{AD}{EH}=\frac{DC}{HG}$,即$\frac{21}{EH}=\frac{18}{24}$.
∴∠β=360°-∠B-∠C-∠D=81°.
∴∠α=83°,∠β=81°,EH=28 cm.