《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

3. 如图,点$M$,$N$分别在正方形$ABCD$的边$BC$,$CD$上,且$\angle MAN=45^{\circ}$.把$\triangle ADN$绕点$A$顺时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle ABE$.
(1)求证:$\triangle AEM≌\triangle ANM$;
(2)若$BM=3$,$DN=2$,求正方形$ABCD$的边长.

答案： 3. 解：
(1)证明：由旋转的性质，得△ADN≌△ABE，
∴∠DAN=∠BAE，AE=AN，∠D=∠ABE=90°.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°.
∴∠ABC+∠ABE=180°.
∴E，B，C 三点共线.
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°.
∴∠MAE=∠MAN.又
∵MA=MA，
∴△AEM≌△ANM(SAS).
(2)设 CD=BC=x，则 CM=x-3，CN=x-2.
∵△AEM≌△ANM，
∴EM=MN.
∵BE=DN，
∴MN=BM+DN=5.
∵∠C=90°，
∴MN²=CM²+CN².
∴25=(x-3)²+(x-2)²，解得 x=6 或 x=-1(舍去).
∴正方形 ABCD 的边长为 6.

在上题中,连接$BD$分别交$AM$,$AN$于点$P$,$Q$,你还能用旋转的思想说明$BP^{2}+DQ^{2}=PQ^{2}$吗?

答案： 【拓展提问】解：过点 B 作 BK⊥BD，并截取 BK=QD，连接 AK，KP.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°.
∴∠KBA=45°.在△AKB 和△AQD 中，{KB=QD,∠KBA=∠QDA,AB=AD,
∴△AKB≌△AQD(SAS).
∴AK=AQ，∠KAB=∠QAD.
∴∠KAP=∠BAK+∠BAP=∠QAD+∠BAP=90°-∠MAN=45°.
∴∠KAP=∠PAQ.又
∵AP=AP，
∴△AKP≌△AQP(SAS).
∴KP=QP.在 Rt△BKP 中，BK²+BP²=KP².
∴BP²+DQ²=PQ².

4. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$\angle B=\angle D=90^{\circ}$,$\angle BAD=120^{\circ}$,以$A$为顶点的$\angle EAF=60^{\circ}$,$AE$,$AF$与$BC$,$CD$边分别交于$E$,$F$两点.试判断$EF$,$BE$和$DF$之间的数量关系,并说明理由.

答案： 4. 解：EF=DF+BE.理由如下：将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 120°得到△ABM，
∴△ABM≌△ADF.
∴∠ABM=∠D=90°，∠MAB=∠FAD，AM=AF，MB=DF.
∴∠ABM+∠ABE=180°.
∴M，B，E 三点共线.
∵∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=60°，∠MAE=∠FAE.又
∵AE=AE，AM=AF，
∴△MAE≌△FAE(SAS).
∴ME=EF.
∴EF=ME=MB+BE=DF+BE.