《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

3. 【例2】已知抛物线 $ y = x^2 + 2mx + m $，其中 $ m $ 为常数。若抛物线的对称轴为直线 $ x = 2 $，求 $ m $ 的值及抛物线的解析式。

答案： 3.解:由公式知,抛物线的对称轴为直线$x=-\frac {2m}{2×1}=2$,
∴$m=-2$.
∴$y=x^{2}-4x-2.$ 

4. 已知抛物线 $ y = x^2 + (m - 1)x - \frac{1}{4} $ 的顶点的横坐标是 $ 2 $，求 $ m $ 的值。

答案： 4.解:
∵顶点的横坐标为2,
∴抛物线的对称轴为直线$x=2$.由公式知,$x=-\frac {m-1}{2×1}=2$,
∴$m=-3.$

知识点3 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象和性质
5. 【例3】若点 $ A(-3, y_1) $，$ B(0, y_2) $，$ C(2, y_3) $ 都在二次函数 $ y = x^2 + 2x - 1 $ 的图象上，则 $ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $ 的大小关系是（ ）
A.$ y_1 ＜ y_2 ＜ y_3 $
B.$ y_2 ＜ y_1 ＜ y_3 $
C.$ y_3 ＜ y_1 ＜ y_2 $
D.$ y_3 ＜ y_2 ＜ y_1 $

答案： 5.B

6. 已知点 $ A(0, y_1) $，$ B(1, y_2) $，$ C(5, y_3) $ 在抛物线 $ y = ax^2 - 2ax - 5 $（$ a $ 为常数，且 $ a ＜ 0 $）上，则下列结论正确的是（ ）
A.$ y_2 ＞ y_3 ＞ y_1 $
B.$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $
C.$ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $
D.$ y_2 ＞ y_1 ＞ y_3 $

答案： 6.D

7. 利用公式法求下列二次函数的对称轴及顶点坐标。
（1）$ y = 2x^2 - 12x + 1 $；
（2）$ y = -\frac{1}{4}x^2 - 2x + 3 $。

答案： 7.解:
(1)$-\frac {b}{2a}=-\frac {-12}{2×2}=3,\frac {4ac-b^{2}}{4a}=\frac {4×2×1-(-12)^{2}}{4×2}=-17.$
∴对称轴为直线$x=3$,顶点坐标为$(3,-17)$.
(2)$-\frac {b}{2a}=-\frac {-2}{2×(-\frac {1}{4})}=-4,\frac {4ac-b^{2}}{4a}=\frac {4×(-\frac {1}{4})×3-(-2)^{2}}{4×(-\frac {1}{4})}=7$.
∴对称轴为直线$x=-4$,顶点坐标为$(-4,7).$

8. （1）抛物线 $ y = 2x^2 + 5x - 5 $ 的对称轴为 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；直线$x=-\frac{5}{4}$
（2）二次函数 $ y = x^2 - 2x + 6 $ 的最小值是 \_\_\_\_。5

答案： 8.
(1)直线$x=-\frac {5}{4}$
(2)5

9. (2023·阳江期末)已知二次函数 $ y = -x^2 + 2x + 4 $，则下列说法正确的是(C)

A.该函数的图象开口向上
B.该函数图象与 $ y $ 轴的交点坐标为$(0,5)$
C.当 $ x = 1 $ 时，$ y $ 有最大值为 $ 5 $
D.当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大

答案： 9.C

10. （1）抛物线 $ y = mx^2 + mx + 1 $ 的对称轴为 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_；直线$x=-\frac{1}{2}$
（2）若函数 $ y = x^2 - 4x + c $ 的最小值是 $ -6 $，则 $ c $ 的值是 \_\_\_\_\_\_。-2

答案： 10.
(1)直线$x=-\frac {1}{2}$
(2)-2

11. 已知抛物线 $ y = x^2 + mx + 2m - m^2 $ 的对称轴为直线 $ x = 1 $。求：
（1）$ m $ 的值；
（2）此抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标。

答案： 11.解:
(1)由题意,得$-\frac {m}{2}=1$,解得$m=-2$.
(2)$y=x^{2}-2x-8=(x-1)^{2}-9$,
∴此抛物线的顶点坐标为$(1,-9)$.当$x=0$时,$y=-8$,故与y轴的交点坐标为$(0,-8)$.当$y=0$时,$x^{2}-2x-8=0$,解得$x_{1}=4,x_{2}=-2$,故与x轴的交点坐标为$(4,0),(-2,0).$