《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. 分解因式(和差形式→乘积形式)：
(1)$mx + nx =$(m+n)x，$x^{2}-4x =$x(x-4)；
(2)$x(x - 1)+2(x - 1)=$(x+2)(x-1).

答案： 1.
(1)$(m+n)x$ $x(x-4)$
(2)$(x+2)(x-1)$

2. 若$A\cdot B = 0$，则$A =$0或$B =$0.

答案： 2.0 0

问题1：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以$10m/s$的速度竖直上抛，那么经过$xs$后物体离地面的高度为$(10x - 4.9x^{2})m$.设物体经过$xs$落回地面，请写出你列出的方程：10x-4.9x^{2}=0.

答案： 问题1:$10x-4.9x^{2}=0$

问题2：除了配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程呢？
将方程$10x - 4.9x^{2}=0$的左边因式分解，可得x(10-4.9x)=0，解得x_{1}=0,x_{2}=\frac {100}{49}.

答案： 问题2:$x(10-4.9x)=0$ $x_{1}=0,x_{2}=\frac {100}{49}$

问题3：解上述方程的时候，二次方程是如何降为一次方程的？
解：通过因式分解,转化为每个一次因式等于0,得到两个一次方程.
小结：解一元二次方程时，先因式分解，使其化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

答案： 问题3:通过因式分解,转化为每个一次因式等于0,得到两个一次方程 小结:两个一次式的乘积等于0 这两个一次式分别等于0

1. 【例】（教材九上$P14$例$3$变式）用因式分解法解方程：
(1)$(x - 1)(x + 3)=0$；
(2)$x^{2}+4x = 0$；
(3)$x(x + 1)-(x + 1)=0$.

答案：
(1)
因为$(x - 1)(x + 3)=0$，根据“若两个数的乘积为$0$，那么至少其中一个数为$0$”，可得：
$x - 1 = 0$或$x + 3 = 0$
由$x - 1 = 0$，解得$x = 1$；
由$x + 3 = 0$，解得$x = - 3$。
所以方程的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=-3$。
(2)
对$x^{2}+4x = 0$提取公因式$x$，得$x(x + 4)=0$。
根据“若两个数的乘积为$0$，那么至少其中一个数为$0$”，可得：
$x = 0$或$x + 4 = 0$
由$x + 4 = 0$，解得$x = - 4$。
所以方程的解为$x_{1}=0$，$x_{2}=-4$。
(3)
对$x(x + 1)-(x + 1)=0$提取公因式$(x + 1)$，得$(x + 1)(x - 1)=0$。
根据“若两个数的乘积为$0$，那么至少其中一个数为$0$”，可得：
$x + 1 = 0$或$x - 1 = 0$
由$x + 1 = 0$，解得$x = - 1$；
由$x - 1 = 0$，解得$x = 1$。
所以方程的解为$x_{1}=-1$，$x_{2}=1$。

2. 用因式分解法解方程：
(1)$y^{2}=2y$；
(2)$x(2x - 1)=2(2x - 1)$；
(3)$(5x - 4)^{2}-x^{2}=0$.

答案：
(1)
解：移项得$y^{2} - 2y = 0$，
因式分解得$y(y - 2)=0$，
则$y = 0$或$y - 2 = 0$，
解得$y_{1}=0$，$y_{2}=2$。
(2)
解：移项得$x(2x - 1)-2(2x - 1)=0$，
因式分解得$(2x - 1)(x - 2)=0$，
则$2x - 1 = 0$或$x - 2 = 0$，
解得$x_{1}=\frac{1}{2}$，$x_{2}=2$。
(3)
解：因式分解得$(5x - 4 + x)(5x - 4 - x)=0$，
即$(6x - 4)(4x - 4)=0$，
进一步化简为$8(3x - 2)(x - 1)=0$，
则$3x - 2 = 0$或$x - 1 = 0$，
解得$x_{1}=\frac{2}{3}$，$x_{2}=1$。