《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

21. (2023·中山期末)如图 1，四边形 $ ABCD $ 是圆的内接四边形，$ AB = BC $，将 $ \triangle ABD $ 绕点 $ B $ 旋转得到 $ \triangle CBE $.
(1) 证明：$ D $，$ C $，$ E $ 三点共线；
(2) 若 $ \angle E = 45° $，圆的半径为 5，求弦 $ BC $ 的长；
(3) 如图 2，若 $ \angle E = 30° $，试探究弦 $ DA $，$ DB $，$ DC $ 之间的数量关系，并证明.

答案： 21.解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是圆的内接四边形,
∴∠DAB+∠DCB=180°.
∵△ABD绕点B旋转得到△CBE,
∴∠DAB=∠ECB.
∴∠ECB+∠DCB=180°.
∴D,C,E三点共线.
(2)设圆心为O,连接OA,OB.
∵△ABD绕点B旋转得到△CBE,
∴∠E=∠ADB=45°.
∵四边形ABCD是圆的内接四边形,
∴$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角为45°.
∴$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为90°,即∠AOB=90°.
∵圆的半径为5,
∴OA=OB=5.
∴AB=$\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=5\sqrt{2}$.
∵AB=BC,
∴BC=$5\sqrt{2}$.
(3)弦DA,DB,DC之间的数量关系为DC+DA=$\sqrt{3}$DB.证明:过点B作BF⊥DE于点F.
∵△ABD绕点B旋转得到△CBE,
∴△ABD≌△CBE.
∴CE=AD,BE=BD.
∵BF⊥DE,
∴EF=$\frac{1}{2}$DE.
∵∠E=30°,
∴∠BDF=30°.
∴BF=$\frac{1}{2}$BD,DF=$\sqrt{DB^{2}-\left(\frac{1}{2}DB\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}DB$.
∵D,C,E三点共线,
∴DC+DA=DC+CE=DE=2DF=$\sqrt{3}$DB.

22. (2024·深圳)如图，$ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 是 $ \odot O $ 上的四点，$ AC $ 是直径，$ AB = BD $，$ \odot O $ 的切线 $ BE $ 交 $ DC $ 的延长线于点 $ E $.
(1) 求证：$ BE \perp DE $；
(2) 若 $ AB = 5\sqrt{6} $，$ BE = 5 $，求 $ \odot O $ 的半径.

答案： 22.解:
(1)证明:连接BO并延长交AD于点H,连接OD.
∵AB=BD,OA=OD,
∴BO垂直平分AD.
∴∠BHD=90°.
∵BE为⊙O的切线,
∴OB⊥BE.
∴∠OBE=90°.
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ADC=90°.
∴四边形BEDH为矩形.
∴∠E=90°.
∴BE⊥DE.
(2)
∵BO垂直平分AD,
∴AH=DH=$\frac{1}{2}$AD.
∵四边形BEDH为矩形,
∴DH=BE=5.在Rt△BDH中,
∵BD=AB=$5\sqrt{6}$,DH=5,
∴BH=$\sqrt{(5\sqrt{6})^{2}-5^{2}}=5\sqrt{5}$.设⊙O的半径为r,则OH=$5\sqrt{5}-r$,OD=r.在Rt△ODH中,$(5\sqrt{5}-r)^{2}+5^{2}=r^{2}$,解得r=$3\sqrt{5}$.
∴⊙O的半径为$3\sqrt{5}$.