《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

5. 【例2】如图，在⊙O中，直径CD⊥AB，AB=6，ED=1，求⊙O的半径。

答案： 设⊙O的半径为$R$，则$OD=OE=R$。
由于$CD \perp AB$，且$AB=6$，
根据垂径定理，$AE=\frac{1}{2}AB=3$。
已知$ED=1$，
所以$OE=R-1$。
在直角三角形$OAE$中，根据勾股定理，有：
$OA^2 = OE^2 + AE^2$，
即：
$R^2 = (R-1)^2 + 3^2$，
$R^2 = R^2 - 2R + 1 + 9$，
$2R = 10$，
$R = 5$。
所以，$\odot O$的半径为$5$。

6. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=2，AE=5，求⊙O的半径。

小结：①构造由半径r、半弦a、弦心距d组成的直角三角形，用勾股定理求解，即：r²=d²+a²；②已知拱高用方程思想。

答案： 设⊙O的半径为$r$，则$AB = 2r$，
$\because$弦$CD\perp AB$于点$E$，$CD = 2$，
$\therefore CE=\frac{1}{2}CD = 1$（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧）。
连接$OC$，$OC = r$，$OE=AE - OA=5 - r$。
在$Rt\triangle OCE$中，根据勾股定理$OC^{2}=OE^{2}+CE^{2}$，
即$r^{2}=(5 - r)^{2}+1^{2}$，
$r^{2}=25-10r+r^{2}+1$，
$10r = 26$，
$r = 2.6$。
故⊙O的半径为$2.6$。

7. 【例3】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC=BD。

答案： 过$O$作$OM\perp AB$，
由垂径定理，得$AM=BM$，$CM=DM$，
$\because AM - CM = BM - DM$，
$\therefore AC = BD$。

8. （教材九上P90习题T9变式）如图，AB是⊙O的弦，C，D为直线AB上的两点，OC=OD。求证：AC=BD。

答案： 证明：过点O作OE⊥AB于点E，
则AE=BE（垂径定理）。
∵OC=OD，OE⊥CD，
∴CE=DE（等腰三角形三线合一）。
∵CE=AC+AE，DE=BD+BE，
又
∵AE=BE，
∴AC=BD。

9. 如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，则下列结论正确的是(D)

A.OE=2
B.EC=2
C.AB垂直平分OC
D.OC垂直平分AB

答案： D

10. 如图，⊙O的半径为10，AB=16，则圆心O到AB的距离为6。

答案： 6

11. （教材九上P83练习T2）如图所示，AC，AB是⊙O的弦，AC=AB，且AC⊥AB。若OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E。求证：四边形ADOE是正方形。

答案： 证明：
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=∠AEO=90°。
∵AC⊥AB，
∴∠DAE=90°，
∴四边形ADOE是矩形。
∵AC=AB，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AE=1/2AC，AD=1/2AB（垂径定理），
∴AE=AD。
∵四边形ADOE是矩形且邻边相等，
∴四边形ADOE是正方形。
结论：四边形ADOE是正方形。

12. (教材九上P90习题T10)⊙O的半径为13 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=24 cm，CD=10 cm。则AB和CD之间的距离为7 cm或17 cm。

答案： 7 cm或17 cm