《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

(1)抛物线 $ y = 3(x + 4)^2 - 12 $ 的顶点坐标是____，与 $ x $ 轴的交点坐标是____，与 $ y $ 轴的交点坐标是____；

答案： $(-4,-12)$ $(-6,0),(-2,0)$ $(0,36)$

(2)抛物线 $ y = 3(x - 2)(x - 5) $ 的顶点坐标是____，与 $ x $ 轴的交点坐标是____，与 $ y $ 轴的交点坐标是____.

答案： $(\frac {7}{2},-\frac {27}{4})$ $(2,0),(5,0)$ $(0,30)$

问题 1:若抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ (x_1,0),(x_2,0) $，则该抛物线的解析式可以设为$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$.

答案： $y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$

问题 2:若二次函数的图象经过点 $ (-3,0),(-1,0),(0,-3) $，则这个二次函数的解析式可以用几种方法求出?
请分别尝试,并比较方法的优劣.

答案： 方法一:设二次函数的解析式为$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$,将点$(-3,0),(-1,0),(0,-3)$代入,得$\left\{\begin{array}{l} 0=9a-3b+c,\\ 0=a-b+c,\\ -3=c,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=-1,\\ b=-4,\\ c=-3.\end{array}\right. $
∴这个二次函数的解析式为$y=-x^{2}-4x-3.$方法二:设二次函数的解析式为$y=a(x+3)(x+1)(a≠0)$,将点$(0,-3)$代入,得$-3=3a$,解得$a=-1$.
∴这个二次函数的解析式为$y=-(x+3)(x+1)$.化成一般形式为$y=-x^{2}-4x-3.$

小结:求抛物线解析式的方法
(1)已知过三点的坐标,用一般式,设$y=ax^{2}+bx+c$；
(2)已知顶点及另外一点坐标,用顶点式,设$y=a(x-h)^{2}+k$；
(3)已知与 $ x $ 轴的两个交点及另一点的坐标,用交点式,设$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$.

答案：
(1)$y=ax^{2}+bx+c$；
(2)$y=a(x-h)^{2}+k$；
(3)$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$

1.【例】已知二次函数的图象如图所示,求这个二次函数的解析式.

答案：
∵二次函数的图象经过点(-1,0),(3,0),
∴可设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3).将(0,-3)代入,得$-3=a\cdot 1×(-3),$解得a=1.
∴二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3),即$y=x^{2}-2x-3.$

2. 已知二次函数的图象经过点 $ A(1,0),B(0,-3) $，对称轴是直线 $ x = 2 $，求它的解析式.

答案： 由题意,得二次函数的图象与x轴的另外一个交点坐标为$(3,0)$,设二次函数的解析式为$y=a(x-1)(x-3)$.将$(0,-3)$代入,得$-3=a\cdot (-1)×(-3)$,解得$a=-1$.
∴二次函数的解析式为$y=-(x-1)(x-3)$,即$y=-x^{2}+4x-3.$