《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

3. 【例 2】如图，$\triangle ABC$与$\triangle EDF$是否相似？并说明理由.

答案： 3. 解:△ABC∽△EDF.理由如下:
∵$\frac {AC}{EF}=\frac {8}{4}=2,\frac {BC}{DF}=\frac {12}{6}=2,\therefore \frac {AC}{EF}$$=\frac {BC}{DF}$.又
∵∠ACB=∠EFD=60°,$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle EDF.$

4. 如图，$D$，$E$分别是$\triangle ABC$两边 $AB$，$AC$上的点，$AD = 3$，$BD = 5$，$AE = 4$，$EC = 2$，$\triangle ADE$与$\triangle ACB$是否相似？并说明理由.

答案： 4. 解:△AED∽△ABC.理由如下:
∵AD=3,BD=5,AE=4,EC=2,$\therefore \frac {AD}{AC}=\frac {3}{4+2}=\frac {1}{2},\frac {AE}{AB}=\frac {4}{3+5}=\frac {1}{2}.\therefore \frac {AD}{AC}=\frac {AE}{AB}$.又
∵∠A=∠A,$\therefore \triangle AED\backsim \triangle ABC.$

5. 如图，直线 $AE$ 与 $BD$ 相交于点 $C$，连接 $AB$，$DE$，$AC = 20$，$BC = 10$，$EC = 16$，$CD = 8$.求证：$\triangle ABC$和$\triangle EDC$相似.

答案： 5. 证明:
∵$\frac {AC}{EC}=\frac {20}{16}=\frac {5}{4},\frac {BC}{DC}=\frac {10}{8}=\frac {5}{4},\therefore \frac {AC}{EC}=\frac {BC}{DC}$.又
∵∠ACB=∠ECD,$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle EDC.$

6. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，垂足为 $D$，且 $CD^{2}=AD\cdot BD$.求证：$\triangle ACD\backsim\triangle CBD$.

答案： 6. 证明:
∵CD⊥AB,$\therefore \angle CDB=90^{\circ }.\because \angle ACB=90^{\circ },\therefore \angle ACB=$$\angle CDB.\because CD^{2}=AD\cdot BD,\therefore \frac {AD}{CD}=\frac {CD}{BD}.\therefore \triangle ACD\backsim \triangle CBD.$

7. （2024·广州海珠区期末）如图，在$\triangle ABC$中，点 $D$，$E$ 分别在边 $AC$，$AB$ 上，$AB = 2AD$，$AC = 2AE$.
（1）求证：$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$；
（2）若 $BC = 4$，求 $DE$ 的长.

答案： 7. 解:
(1)证明:
∵AB=2AD,AC=2AE,$\therefore \frac {AD}{AB}=\frac {AE}{AC}=\frac {1}{2}$.又
∵∠A=∠A,$\therefore \triangle ADE\backsim \triangle ABC$.
(2)
∵△ADE∽△ABC,$\therefore \frac {DE}{BC}=\frac {AD}{AB}=$$\frac {1}{2}.\therefore DE=\frac {1}{2}BC$.又
∵BC=4,$\therefore DE=\frac {1}{2}BC=\frac {1}{2}× 4=2.$

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 8\mathrm{cm}$，$AC = 6\mathrm{cm}$，点 $Q$ 从点 $B$ 出发，沿 $BC$ 方向以 $2\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ 的速度移动，点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿 $CA$ 方向以 $1\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ 的速度移动.若点 $Q$，$P$ 分别同时从点 $B$，$C$ 出发，则经过$\frac {12}{5}$或$\frac {32}{11}$$\mathrm{s}$ 后，以 $C$，$P$，$Q$ 为顶点的三角形与$\triangle CBA$相似.

答案： 8.$\frac {12}{5}$或$\frac {32}{11}$