《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. 切线的判定定理和性质定理是什么？
2. 过一点$P$作圆的切线，有几种可能？（结合点$P$与圆的位置关系）

答案： 1. 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。2. 点在圆内：0种；点在圆上：1种；点在圆外：2种。

探究1 切线长的定义
问题1：如图所示，如果$P$是圆外一点，请你过点$P$作圆的切线.
切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和_______之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.

问题2：切线长与切线的区别在哪里？

答案： 问题 1:切点 

探究2 切线长定理
问题3：如图，$PA$和$PB$为$\odot O$的两条切线，连接$OP$，将此图沿着直线$PO$对折，则直线两旁的部分能完全重合吗？你能证明吗？
切线长定理：从圆外一点可以引圆的_______条切线，它们的切线长_______，这一点和圆心的连线_______两条切线的夹角.
几何语言：$\because PA$，$PB$是$\odot O$的切线，$\therefore$______，______.
问题4：若连接两切点$A$，$B$，$AB$交$OP$于点$M$. 你还能得出什么新的结论？

答案：

切线长定理:两 相等 平分 几何语言:PA=PB OP 平分∠APB 

1. 如图，已知$PA$，$PB$为$\odot O$切线，$A$，$B$为切点，若$PA = 3$ cm，则$PB=$_______ cm；若$\angle APO = 25^{\circ}$，则$\angle APB=$_______.

答案：

1.3 50° 

2. 如图，$PA$，$PB$是$\odot O$的两条切线，$A$，$B$为切点，连接$OB$，$OA$，$AB$._______$AB$与$OP$相交于点$D$，则图中全等的三角形有_______；等腰三角形有_______.

答案：

2.△OAP≌△OBP,△OAD≌△OBD,△PAD≌△PBD △OAP≌△OBP,△OAD≌△OBD,△PAD≌△PBD △AOB,△ABP

探究3 三角形的内切圆
问题5：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
问题6：如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
问题7：如何作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
（1）如果半径为$r$的$\odot I$与$\triangle ABC$的三边都相切，那么圆心$I$应满足_______；
（2）在$\triangle ABC$的内部，如何找到满足条件的圆心$I$呢？
问题8：请用尺规在图中作出$\odot I$.

小结：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的_______，它的圆心是三角形三条______的交点，叫做三角形的_______.
（1）$\odot I$叫做$\triangle ABC$的______圆，$\triangle ABC$叫做$\odot I$的______三角形；
（2）三角形的内心是三角形的三条_______线的交点，到三角形_______的距离相等；
（3）内心都在三角形的内部吗？_______.
问题9：对比学习：三角形的外心_______
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的_______，外接圆的圆心是三角形三条边的_______的交点，叫做三角形的_______.
三角形的外心性质：_______.
外心都在三角形内部吗？_______.

答案：

问题 7:

(1)到三边的距离相等 小结:内切圆 内心

(2)角平分线 三边

(3)是 问题 9:外接圆 垂直平分线 外心 三角形的外心性质:到三角形三个顶点的距离相等 不是