《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

3. 【例 2】两个矩形的边长如图所示.
(1)求证：矩形$ABCD \backsim$矩形$A'B'C'D'$；
(2)相似比为$\frac{1}{3}$.

答案： 3.解:
(1)证明:在矩形ABCD和矩形A'B'C'D'中,
∵∠A=∠A'=90°,∠B=∠B'=90°,∠C=∠C'=90°,∠D=∠D'=90°,$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}=\frac{1}{3}$,
∴矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'.
(2)$\frac{1}{3}$

4. 如图，矩形$ABFE$被分成两个矩形.
(1)找出图中一对相似矩形，并证明；
(2)(1)中小矩形与大矩形的相似比为$\frac{1}{2}$.

答案： 4.解:
(1)矩形CDEF与矩形AEFB相似.证明如下:
∵∠DCF=∠A=90°,∠CDE=∠E=90°,∠E=∠F=90°,∠F=∠B=90°,$\frac{CD}{AE}=\frac{EF}{FB}=\frac{4}{6+2}=\frac{1}{2}$,$\frac{DE}{EF}=\frac{CF}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$,
∴矩形CDEF与矩形AEFB相似.
(2)$\frac{1}{2}$

5. (2024·惠州一中期末)在如图所示的三个矩形中，相似的是(B)


A.①②
B.②③
C.①③
D.都不相似

答案： B

6. 如图，已知$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，则图中$\angle \alpha$和边$A'C'$的长$x$分别为(A)


A.$40^{\circ}$，$9$
B.$40^{\circ}$，$6$
C.$30^{\circ}$，$9$
D.$30^{\circ}$，$6$

答案： A

7. 若四边形$ABCD \backsim$四边形$A'B'C'D'$，且$AB:A'B' = 1:2$，已知$BC = 8$，则$B'C'$的长是(B)

A.$4$
B.$16$
C.$24$
D.$64$

答案： B

8. 下列图形中，不一定相似的是(D)

A.任意两个等腰直角三角形
B.任意两个等边三角形
C.任意两个正方形
D.任意两个菱形

答案： D

9. 一个多边形的边长依次为$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，另一个和它相似的多边形的最长边长为$24$，则这个多边形的最短边长为(B)

A.$6$
B.$8$
C.$10$
D.$12$

答案： B

10. (教材九下 P28 习题 T5 变式)如图，$DE// BC$，$DE = 3$，$BC = 9$，$AD = 1.5$，$AB = 4.5$，$AE = 1.8$，$AC = 5.4$.
(1)$\dfrac{AD}{AB}=$$\frac{1}{3}$，$\dfrac{AE}{AC}=$$\frac{1}{3}$，$\dfrac{DE}{BC}=$$\frac{1}{3}$；
(2)求证：$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似.

答案： 10.解:
(1)$\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$
(2)证明:
∵DE//BC,
∴∠D=∠B,∠E=∠C.又
∵∠DAE=∠BAC,$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$.
∴△ADE与△ABC相似.