《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上，添加下列条件中的一个后，不一定使 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点共圆的是(B)

A.$∠B + ∠D = 180^{\circ}$
B.$∠A = ∠BCD$
C.$∠A = ∠DCE$
D.$∠A = ∠BCD = 90^{\circ}$

答案： 1. B

2. 如图，将一个含 $45^{\circ}$ 角的直角三角板 $ABC$ 和一个含 $30^{\circ}$ 角的直角三角板 $ADC$ 拼在一起，斜边 $AC$ 恰好重合，则 $∠BDC =$45$^{\circ}$。

答案： 2. 45

3. (2023·东莞期末)如图 1，已知等边三角形 $ABC$，$D$，$E$ 分别是边 $BC$，$CA$ 上的点，且 $CD = AE$，连接 $AD$，$BE$ 相交于点 $P$。
(1) 求证：$△ABD ≌ △BCE$；
(2) 如图 2，连接 $CP$，若点 $P$ 恰好落在以 $CD$ 为直径的圆上，求 $∠CPE$ 的度数；
(3) 在条件(2)下，求 $AE:EC$ 的值。

答案： 3. 解：
(1)证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BCA=60°.
∵CD=AE，
∴BC-CD=AC-AE，
∴BD=CE. 在△ABD 和△BCE 中，$\left\{\begin{array}{l} AB=BC,\\ ∠ABD=∠BCE,\\ BD=CE,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△BCE(SAS).
(2)
∵点 P 恰好落在以 CD 为直径的圆上，
∴∠DPC=90°.由
(1)知，△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE.
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=60°.
∵∠APC=∠APE+∠CPE=90°，
∴∠CPE=30°.
(3)
∵△ABD≌△BCE，
∴∠ADB=∠BEC.
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠BEC+∠ADC=180°.
∴C，D，P，E 四点共圆. 连接 DE.
∵CD 为圆的直径，
∴∠CED=90°.由
(2)知，∠CPE=30°.
∵∠CDE=∠CPE，
∴∠CDE=30°.
∴CE=$\frac {1}{2}$CD.
∵CD=AE，
∴CE=$\frac {1}{2}$AE.
∴AE:EC=2.