《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

3. 【例2】如图，$E$是正方形$ABCD$内的一点，连接$AE$，$BE$，$CE$，将$\triangle ABE$绕点$B$顺时针旋转$90°$到$\triangle CBF$的位置，连接$EF$. 已知$AE = 1$，$BE = \sqrt{2}$.
(1)$\triangle BEF$是等腰直角三角形，$EF$的长为2；
(2)当$EC = \sqrt{5}$时，判断$\triangle CEF$的形状，并说明理由.

答案： 解:
(1)等腰直角 2
(2)△CEF 为直角三角形.理由如下:在△CEF 中,$CE=\sqrt {5}$,CF=1,EF=2.
∵$CF^{2}+EF^{2}=1^{2}+2^{2}=5$,$CE^{2}=5$,
∴$CF^{2}+EF^{2}=CE^{2}$.
∴△CEF 为直角三角形.

4. 如图，在$Rt\triangle OAB$中，$\angle OAB = 90°$，$OA = AB = 6$，将$\triangle OAB$绕点$O$沿逆时针方向旋转$90°$得到$\triangle OA_1B_1$.
(1)线段$OA_1$的长是6，$\angle AOB_1$的度数是135°；
(2)连接$AA_1$，求证：四边形$OAA_1B_1$是平行四边形.

答案： 解:
(1)6 135°
(2)证明:由旋转的性质可知∠AOA₁=90°,OA=AB=A₁B₁,
∴∠AOA₁=∠OA₁B₁.
∴OA//A₁B₁.
∴四边形 OAA₁B₁是平行四边形.

5. 下列各图形分别绕某个点旋转$120°$后不能与自身重合的是(D)

答案： D

6. (2024·中山期末)将矩形$ABCD$绕其顶点$B$顺时针旋转到如图所示的位置，则旋转角为(A)

A.$30°$
B.$60°$
C.$120°$
D.$150°$

答案： A

7. 如图，将边长为1的正方形$ABCD$绕点$A$顺时针旋转$30°$到四边形$AB_1C_1D_1$的位置，则阴影部分的面积是$2-\frac {2\sqrt {3}}{3}$.

答案： $2-\frac {2\sqrt {3}}{3}$

8. 如图，在等腰三角形$ABC$中，$AB = BC$，将$\triangle ABC$绕顶点$B$逆时针旋转$\alpha$到$\triangle A_1BC_1$的位置，$AB$与$A_1C_1$相交于点$D$，$AC$与$A_1C_1$，$BC_1$分别交于点$E$，$F$.
(1)求证：$\triangle BCF\cong\triangle BA_1D$；
(2)当$\angle C = \alpha$时，判定四边形$A_1BCE$的形状，并说明理由.

答案： 解:
(1)证明:
∵AB=BC,
∴∠A=∠C.由旋转的性质可知 A₁B=AB=BC,∠A=∠A₁=∠C,∠A₁BD=∠CBC₁.在△BCF 和△BA₁D 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠CBF=∠A₁BD,\\ CB=A₁B,\\ ∠C=∠A₁,\end{array}\right.$
∴△BCF≌△BA₁D(ASA).
(2)四边形 A₁BCE 是菱形.理由如下:
∵∠C=α,∠A=∠A₁=∠C₁=∠CBC₁=α.
∴A₁E//BC.
∴∠C=∠AED=∠A₁=α.
∴CE//A₁B.
∴四边形 A₁BCE 是平行四边形.
∵A₁B=BC,
∴平行四边形 A₁BCE 是菱形.