《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. (1)如图1,已知$\triangle ABC$和$\triangle ECD$是等边三角形,点$B$,$C$,$D$在同一条直线上,连接$BE$,交边$AC$于点$G$,连接$AD$,交$BE$于点$F$.易证:$\triangle ACD≌\triangle BCE$.若将$\triangle ECD$绕点$C$顺时针旋转一定的角度$\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜60^{\circ})$(如图2),此时$\triangle ACD≌\triangle BCE$还成立吗?请说明理由;
(2)在$\triangle ABC$和$\triangle ECD$中,$BC=AC$,$CE=CD$,$\angle ACB=\angle DCE$,将$\triangle ECD$绕点$C$旋转,当旋转到图3的位置时;
①此时$\triangle ACD≌\triangle BCE$还成立吗?请说明理由;
②延长$BE$交$AD$于点$F$,$AC$交$BF$于点$O$,则$\angle BFA$与$\angle ACB$之间的数量关系是什么?请说明理由;


(3)如图4,在$\triangle ABC$和$\triangle ECD$中,$BC=AC$,$CE=CD$,$\angle ACB=\angle DCE=90^{\circ}$,将$\triangle ECD$绕点$C$旋转,使得点$A$落在$DE$的延长线上,连接$BE$,此时$\triangle ACD≌\triangle BCE$还成立吗?若$CD=CE=2\sqrt{2}$,$AE=2$,求线段$AB$的长.

答案： 1. 解：
(1)成立.理由如下：
∵△ABC 和△ECD 是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠ECD.
∴∠BCE=∠ACD.在△ACD 和△BCE 中，{AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)①△ACD≌△BCE 成立.理由如下：
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD.在△ACD 和△BCE 中，{AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS).②∠BFA=∠ACB.理由如下：由①知，△ACD≌△BCE，
∴∠DAC=∠EBC.又
∵∠AOF=∠COB，
∴∠BFA=∠ACB.
(3)△ACD≌△BCE 成立.理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠ACD.在△ACD 和△BCE 中，{AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE，∠CBE=∠CAD.设 AC，BE 交于点 O.
∴∠BOC=∠AOE，
∴∠BEA=∠BCA=90°.
∵CD=CE=2√2，
∴DE=√(CD²+CE²)=4.
∴BE=AD=AE+DE=2+4=6.
∴在 Rt△ABE 中，AB=√(BE²+AE²)=√(6²+2²)=2√10.

2. (1)如图1,已知正方形$ABCD$和正方形$CEFG$,点$G$在边$CD$上,点$E$在边$BC$上,则$BE$与$DG$的数量关系为 \_\_\_\_\_\_\_\_;BE=DG
(2)将(1)中的正方形$CEFG$绕点$C$旋转至如图2所示的位置时,(1)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)若$AB=5\sqrt{2}$,$CE=\sqrt{2}$,将(1)中正方形$CEFG$绕点$C$旋转$\alpha$度$(0＜\alpha＜90)$,当$B$,$E$,$G$三点在同一条直线上(如图3)时,求$DG$的长.

答案： 2. 解：
(1)BE=DG
(2)结论成立.理由如下：
∵∠BCD=∠ECG，
∴∠BCE=∠DCG.又
∵BC=DC，EC=GC，
∴△BCE≌△DCG(SAS).
∴BE=DG.
(3)连接 FC 交 EG 于点 M.
∵四边形 CEFG 是正方形，CE=√2，
∴CM=EM=1，EG⊥FC.由勾股定理，得 BM=√((5√2)²-1²)=7，
∴BE=BM-EM=7-1=6.由
(2)得 DG=BE=6.