《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

3. 【例2】如图，一次函数$y = x + m$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于$A$，$B$两点，且与$x$轴交于点$C$，点$A$的坐标为$(2,1)$.
(1) 求$m$及$k$的值；
(2) 连接$OB$，$OA$，求$\triangle AOB$的面积.

答案：
(1)由题意,得1=2+m,k=2×1,解得m=-1,k=2.
(2)由
(1)得,两函数的解析式分别为y=x-1,y= $\frac{2}{x}$.联立$\begin{cases} y=x-1 \\ y= \frac{2}{x} \end{cases}$,解得$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$或$\begin{cases} x=-1 \\ y=-2 \end{cases}$.
∴A(2,1),
∴B(-1,-2).在y=x-1中,令y=0,解得x=1.
∴C(1,0).
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}= \frac{1}{2}OC \cdot 1+ \frac{1}{2}OC \cdot 2= \frac{1}{2} × 1 × 1+ \frac{1}{2} × 1 × 2= \frac{3}{2}$.

4. 如图，一次函数$y = kx + b$与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于$A(1,6)$，$B(3,n)$两点，与$x$轴交于点$C$.
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；
(2) 若点$M$在$x$轴上，且$\triangle AMC$的面积为$6$，求点$M$的坐标.

答案：
(1)把A(1,6)代入$y= \frac{m}{x}$,得m=6.
∴$y= \frac{6}{x}$.把B(3,n)代入$y= \frac{6}{x}$,得n=2.
∴B(3,2).将点A,B的坐标分别代入y=kx+b,得$\begin{cases} k+b=6 \\ 3k+b=2 \end{cases}$,解得$\begin{cases} k=-2 \\ b=8 \end{cases}$.
∴y=-2x+8.
(2)把y=0代入y=-2x+8,解得x=4.
∴C(4,0).
∵点M在x轴上,且$S_{\triangle AMC}=6$,
∴$\frac{1}{2}CM \cdot 6=6$.
∴CM=2.
∴点M的坐标为(6,0)或(2,0).

5. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线$y = k_{1}x(k_{1}\neq0)$与双曲线$y=\frac{k_{2}}{x}(k_{2}\neq0)$交于$A$，$B$两点. 已知点$A$的坐标为$(3,4)$，则点$B$的坐标为(A)

A.$(-3,-4)$
B.$(-4,-3)$
C.$(-3,-3)$
D.$(-4,-4)$

答案： A

6. 已知一次函数$y = x + 1$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象的一个交点为$A(2,m)$，则$k$的值是6.

答案： 6

7. 如图，一次函数$y = -x + b$的图象与反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象交于$A(2,-4)$，$B(m,2)$两点，则当$x$满足条件x＞ 2或-4＜ x＜ 0时，一次函数的值小于反比例函数值.

答案： x＞ 2或-4＜ x＜ 0

8. 在平面直角坐标系中，直线$l$过$A(4,1)$，$B(5,0)$两点，且点$A$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图象上. 将直线$l$向下平移1或9个单位长度，可以使得直线$l$与反比例函数的图象恰好只有一个公共点.

答案： 1或9