《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

【母题】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线$y = x^{2}+bx + c$与$x$轴交于点$A$，$B$，与$y$轴交于点$C$，$BO = 3AO = 3$，直线$y = mx + n$过点$B$，$C$。

答案：
(1)
∵BO=3AO=3,
∴AO=1.
∴A(-1,0),B(3,0).将点A,B的坐标代入抛物线的解析式,得{0=1-b+c,0=9+3b+c,解得{b=-2,c=-3.
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3.当x=0时,y=-3.
∴C(0,-3).将B(3,0),C(0,-3)代入y=mx+n,得{n=-3,0=3m+n,解得{m=1,n=-3.
∴直线BC的解析式为y=x-3.
(2)由图象可知x≤0或x≥3.
(3)①解法一:由
(1)可知点B(3,0),C(0,-3),设点P的坐标为(t,t²-2t-3).
∵BC²=18,PC²=t²+(t²-2t+3)²,PB²=(t-3)²+(t²-2t-3)².
∵∠PCB=90°,
∴△PCB是直角三角形,根据勾股定理,得BC²+PC²=PB²,即18+t²+(t²-2t+3)²=(t-3)²+(t²-2t-3)².解得t₁=0(不符合题意,舍去),t₂=1.当t=1时,t²-2t-3=-4.
∴点P的坐标为(1,-4).解法二:过点C作直线CP⊥CB,交抛物线于点P,交x轴于点H.
∵OC=OB=3,∠BOC=90°,
∴△OBC为等腰直角三角形.
∴∠OCB=45°.
∴∠OCH=45°.
∴△OCH为等腰直角三角形.
∴OC=OH=3.
∴点H的坐标为(-3,0).设直线CH的解析式为y=kx+b(k≠0),则{-3k+b=0,b=-3,解得{k=-1,b=-3.
∴直线CH的解析式为y=-x-3.联立{y=-x-3,y=x²-2x-3,解得{x₁=0,y₁=-3,{x₂=1,y₂=-4.
∴点P的坐标为(1,-4).②CD=3-√3或3√3-3.
(4)过点D作DF⊥x轴于点F,交BC于点E.由
(1)得,直线BC的解析式为y=x-3.设D(x,x²-2x-3)(0＜x＜3),则E(x,x-3).
∴DE=(x-3)-(x²-2x-3)=-x²+3x.
∵S△BCD=S△CDE+S△BDE=1/2DE·OF+1/2DE·BF=1/2DE·OB=3/2DE.
∴S△BCD=3/2(-x²+3x)=-3/2(x-3/2)²+27/8.
∴当x=3/2时,S△BCD有最大值为27/8.此时D(3/2,-15/4).
(5)①依题意,得对称轴为直线x=1.连接BC交对称轴于点P,此时PB+PC的值最小.当x=1时,y=1-3=-2,即此时点P的坐标为(1,-2),PB+PC=BC=√(OB²+OC²)=√(3²+3²)=3√2.②连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q,此时|QA-QC|的值最大,且|QA-QC|的最大值为线段AC的长.依题意,得A(-1,0),C(0,-3),可求得直线AC的解析式为y=-3x-3.当x=1时,y=-3x-3=-3×1-3=-6.
∴点Q的坐标为(1,-6).
(6)设点M的坐标为(m,m²-2m-3),点N的坐标为(n,0).根据平行四边形对角线的性质及中点坐标性质可得:①当BC为对角线时,{xB+xC=xM+xN,yB+yC=yM+yN,即{3+0=m+n,0-3=m²-2m-3+0,解得m₁=0(舍去),m₂=2.
∴n=1,即N₁(1,0);②当BM为对角线时,{xB+xM=xC+xN,yB+yM=yC+yN,即{3+m=0+n,0+m²-2m-3=-3+0,解得m₁=0(舍去),m₂=2.
∴n=5,即N₂(5,0);③当BN为对角线时,{xB+xN=xC+xM,yB+yN=yC+yM,即{3+n=0+m,0+0=-3+m²-2m-3,解得m₁=1+√7,m₂=1-√7.
∴n=√7-2或-2-√7.
∴N₃(√7-2,0),N₄(-2-√7,0).综上所述,点N的坐标为(1,0)或(5,0)或(√7-2,0)或(-2-√7,0).