《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. 一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的求根公式为$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

答案： 1.$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

2. 用公式法解下列方程：

答案： 2.2 -3 25 -2 0 无实数解 -3

问题1：一元二次方程一定有解吗？如果一元二次方程有解，那么有几种情况？
解：不一定,有两种情况.

答案： 问题1:不一定,有两种情况

问题2：我们在运用公式法求解一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 时，总是要求 $b^{2}-4ac\geq0$，这是为什么？若 $b^{2}-4ac\lt0$，则方程还有解吗？
解：二次根式有意义,无解.

答案： 问题2:二次根式有意义,无解

问题3：观察上表，你觉得一元二次方程根的情况可以通过什么来进行判断？
解：$b^2-4ac$的值进行判断.

答案： 问题3:$b^2-4ac$的值进行判断

小结：由此可见，代数式 $b^{2}-4ac$ 是考查一元二次方程根的情况的依据，因此我们把$b^2-4ac$叫做一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的根的判别式，记作$\Delta$.
(1) $b^{2}-4ac\gt0\Leftrightarrow$ 原方程有两个不相等的实数根；
(2) $b^{2}-4ac = 0\Leftrightarrow$ 原方程有两个相等的实数根；
(3) $b^{2}-4ac\lt0\Leftrightarrow$ 原方程无实数根；
(4) $b^{2}-4ac\geq0\Leftrightarrow$ 原方程有两个实数根.

答案： 小结:$b^2-4ac$ $\Delta$
(1)两个不相等的
(2)两个相等的
(3)无
(4)有两个

1. 如果一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 有解，那么必须满足的条件是(A)

A.$b^{2}-4ac\geq0$
B.$b^{2}-4ac\leq0$
C.$b^{2}-4ac\gt0$
D.$b^{2}-4ac\lt0$

答案： 1.A

2. 不解方程，判断方程 $3x^{2}+4x - 3 = 0$ 根的情况.
解：$\because a=$3，$b=$4，$c=$-3，
$\therefore\Delta = b^{2}-4ac=$$4^2-4× 3× (-3)$=52.
$\because\Delta$＞0，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.

答案： 2.3 4 -3 $4^2-4× 3× (-3)$ 52 ＞ 有两个不相等的实数根

3. 【例1】(2024·佛山南海区期末)一元二次方程 $x^{2}+5x + 6 = 0$ 的根的情况是(B)

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定

答案： 3.B

4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2x + m = 0$(其中 $m\lt1$)根的情况是有两个不相等的实数根.

答案： 4.有两个不相等的实数根