《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. 什么是函数？什么是一次函数？
2. 一元二次方程一般形式如何表示？

答案： 1. 设$A$，$B$是非空的实数集，如果对于集合$A$中的任意一个数$x$，按照某种确定的对应关系$f$，在集合$B$中都有唯一确定的数$y$和它对应，那么就称$f\colon A\to B$为从集合$A$到集合$B$的一个函数，记作$y = f(x)$，$x\in A$。其中$x$叫做自变量，$x$的取值范围$A$叫做函数的定义域；与$x$的值相对应的$y$值叫做函数值，函数值的集合$\{f(x)\mid x\in A\}$叫做函数的值域。
一般地，形如$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$）的函数，叫做一次函数。
2. 一元二次方程的一般形式为$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$，$a$，$b$，$c$为常数）。

问题1：请根据题目条件，写出下列变量之间的关系式。
(1) 正方体的棱长为$x$，表面积为$y$，则$y$关于$x$的关系式为y=6x²；
(2) $n$个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，则比赛的场次数$m$与球队数$n$的关系式为m= $\frac{1}{2}n²-\frac{1}{2}n$；
(3) 某种产品今年的年产量是$20t$，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加$x$倍，那么两年后这种产品的产量$y$与$x$之间的关系式为y=20(1+x)²。
问题2：问题(1)～(3)中的函数关系式有什么共同点？

答案： 问题1：
(1)y=6x²
(2)m= $\frac{1}{2}n²-\frac{1}{2}n$
(3)y=20(1+x)²
@@答题卡作答：问题
(1)～
(3)中的函数关系式均为形如$y = ax^{2} + bx + c$（$a \neq 0$）的形式，它们都是二次函数。

1. 下列函数中，是二次函数的是②③($x$是自变量)。
① $y = x^{3}+2x$；② $y = 3 - 2x^{2}$；③ $y = x^{2}$；④ $y=\frac{1}{x^{2}}$；⑤ $y = ax^{2}+bx + c$；⑥ $y=(x + 3)^{2}-x^{2}$。

答案： 1. ②③

2. 【例1】(1) 已知$y = x^{m}-x - 1$是关于$x$的二次函数，则$m=$2；
(2) 已知$y=(m - 3)x^{2}-x - 1$是关于$x$的二次函数，则$m$的取值范围是m≠3。

答案： 2.
(1)2
(2)m≠3

3. 已知$y=(m + 1)x^{|m|+1}+2x - 1$是关于$x$的二次函数，则实数$m=$1。

答案： 3. 1