《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. 【例1】已知抛物线 $ y = x^2 - 3x + 2 $.
(1) 判断此抛物线与 $ x $ 轴的交点个数；
(2) 求抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标.

答案： 1.解:
(1)
∵Δ=(-3)²-4×1×2=1＞0,
∴抛物线与x轴有2个交点.
(2)令x²-3x+2=0,解得x₁=1,x₂=2.
∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0),(2,0).

2. 抛物线 $ y = x^2 - x + 2 $ 与 $ x $ 轴的交点个数是(A)

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.$ 3 $

答案： 2.A

3. 【例2】已知二次函数 $ y = kx^2 - 2x - 1 $ 的图象与 $ x $ 轴有两个交点，求 $ k $ 的取值范围.

答案： 3.解:依题意,得Δ=(-2)²-4k×(-1)=4+4k＞0,且k≠0,解得k＞-1且k≠0.

4. (2023·郴州)若抛物线 $ y = x^2 - 6x + c $ 与 $ x $ 轴只有一个交点，则 $ c = $ 9.

答案： 4.9

5. 【例3】若抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ (1, 0) $，$ (3, 0) $，则方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的解为 x₁=1,x₂=3.

答案： 5.x₁=1,x₂=3

6. (教材九上 P44“思考”变式)若方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根为 $ x_1 = -1 $，$ x_2 = 2 $，则抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴的交点坐标为 (-1,0),(2,0).

答案： 6.(-1,0),(2,0)

7. (2024·广州海珠区期中)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 如图所示，则关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 根的情况为(D)


A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.不能确定
D.没有实数根

答案： 7.D

8. (1) 抛物线 $ y = 2x^2 - x - 1 $ 与 $ x $ 轴的交点坐标为 ______；与 $ y $ 轴的交点坐标为 ______；
(2) 抛物线 $ y = (x - 1)^2 - 4 $ 与 $ x $ 轴的交点坐标为 ______；与 $ y $ 轴的交点坐标为 ______.

答案： 8.
(1)(1,0),(-$\frac{1}{2}$,0) (0,-1)
(2)(3,0),(-1,0) (0,-3)

9. 如图，抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的对称轴是直线 $ x = 1 $，关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的一个根为 $ x = 4 $，则另一个根为 x=-2.

答案： 9.x=-2

10. (2024·长春)若抛物线 $ y = x^2 - x + c(c $ 是常数 $ ) $ 与 $ x $ 轴没有交点，则 $ c $ 的取值范围是 c＞$\frac{1}{4}$.

答案： 10.c＞$\frac{1}{4}$

11. 已知二次函数 $ y = x^2 - 2mx + m^2 + 4(m $ 是常数 $ ) $.
(1) 求证：不论 $ m $ 为何值，该函数图象与 $ x $ 轴没有公共点；
(2) 把该函数图象沿 $ y $ 轴向下平移多少个单位长度后得到的函数图象与 $ x $ 轴只有一个公共点？

答案： 11.解:
(1)证明:
∵Δ=(-2m)²-4(m²+4)=-16＜0,
∴不论m为何值,该函数图象与x轴没有公共点.
(2)设抛物线沿y轴向下平移k(k＞0)个单位长度后得到的函数图象与x轴只有一个公共点,则平移后的抛物线解析式为y=x²-2mx+m²+4-k.Δ=(-2m)²-4(m²+4-k)=0,解得k=4.即把该函数图象沿y轴向下平移4个单位长度后得到的函数图象与x轴只有一个公共点.