《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. (教材九上 P52“阅读与思考”变式)某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试. 飞机着陆后滑行的距离 $ s(m) $ 关于游行的时间 $ t(s) $ 的函数解析式是 $ s = -\dfrac{3}{2}t^{2} + 60t $，则 $ t $ 的取值范围是(D)

A.$ 0 \leqslant t \leqslant 600 $
B.$ 20 \leqslant t \leqslant 40 $
C.$ 0 \leqslant t \leqslant 40 $
D.$ 0 \leqslant t \leqslant 20 $

答案： 1.D

2. 新考向 数学文化 (2021·广东)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式,此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙,即三角形的三边长分别为 $ a $, $ b $, $ c $, 记 $ p = \dfrac{a + b + c}{2} $, 则其面积 $ S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} $. 这个公式也被称为“海伦—秦九韶公式”. 若 $ p = 5 $, $ c = 4 $, 则此三角形面积的最大值为(C)

A.$ \sqrt{5} $
B.4
C.$ 2\sqrt{5} $
D.5

答案： 2.C

3. (教材九上 P48“信息技术应用”变式)计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象. 用“几何画板”软件画出的函数 $ y = x^{2}(x + 3) $ 和 $ y = x + 3 $ 的图象如图所示. 根据图象可知方程 $ x^{2}(x + 3) = x + 3 $ 的解的个数为3；若 $ m $, $ n $ 分别满足方程 $ x^{2}(x + 3) = 5 $ 和 $ x + 3 = 5 $, 则 $ m $, $ n $ 的大小关系是$m ＜ n$.

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答案： 3.3 $m ＜ n$

4. 新考向 情境素材 深圳市某景观公园计划修建一个人工喷泉,从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分. 记喷出的水流距喷水枪的水平距离为 $ x $ 米,距地面的竖直高度为 $ y $ 米,获得数据如下表：

小华根据学习函数的经验,对函数 $ y $ 随自变量 $ x $ 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小华的探究过程,请补充完整：
(1) 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,描出以表中各组对应值为坐标的点,并用平滑曲线画出该函数的图象；
(2) 直接写出水流最高点距离地面的高度为_______米；
(3) 求该抛物线的解析式；(结果用一般式表示)
(4) 结合函数图象,解决问题:该景观公园准备在距喷水枪水平距离 3 米处修建一个大理石雕塑,使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端,则大理石雕塑的高度约为_______米.(结果精确到 0.1 米)

答案： 4.解:
(1)略.
(2)3
(3)设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2+3$,将$(5,0)$代入解析式,得$9a+3=0$,解得$a=-\dfrac{1}{3}$,
∴抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}(x-2)^2+3=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{3}$.
(4)2.7

5. (教材九上 P54“数学活动 2”变式)如图,在平面直角坐标系中,点 $ A $ 的坐标是 $ (0,2) $, 在 $ x $ 轴上任取一点 $ M $, 连接 $ AM $, 作线段 $ AM $ 的垂直平分线 $ l_{1} $, 过点 $ M $ 作 $ x $ 轴的垂线 $ l_{2} $, 记 $ l_{1} $, $ l_{2} $ 的交点为 $ P $.
(1) 线段 $ PA $ 与 $ PM $ 的数量关系为PA=PM.
① 当点 $ M $ 的坐标为 $ (2,0) $ 时,点 $ P $ 的坐标是(2,2)；
② 当点 $ M $ 的坐标为 $ (4,0) $ 时,点 $ P $ 的坐标是(4,5)；
(2) 在 $ x $ 轴上改变点 $ M $ 的位置,可得到不同的点 $ P $, 试着把得到的点 $ P $ 用平滑的曲线连接起来. 观察画出的曲线 $ L $, 猜想它是我们学过的哪种曲线：抛物线；
(3) 验证(2)的猜想:对于曲线 $ L $ 上任意一点 $ P $, 设点 $ P $ 的坐标是 $ (x,y) $, 请根据 $ PA $ 与 $ PM $ 的关系求出 $ x $, $ y $ 满足的关系式. 你得出的结论与先前你的猜想一样吗?

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答案： 5.解:
(1)$PA=PM$ ②$(2,2)$ ③$(4,5)$
(2)抛物线
(3)我得出的结论与先前我的猜想一样.理由如下:
∵点P的坐标是$(x,y)$,$PM\perp x$轴,
∴$M(x,0)$.
∵$A(0,2)$,$PA=PM$,$(x-0)^2+(y-2)^2=y^2$,
∴$x^2+y^2-4y+4=y^2$.化简,得$y=\dfrac{1}{4}x^2+1$.
∵$y=\dfrac{1}{4}x^2+1$为抛物线解析式,
∴得出的结论与猜想一致.