《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

3. (2023·广州增城区二模)如图，在矩形 $ OABC $ 中，$ E $ 是对角线 $ OB $ 的中点，$ OA=4 $，$ OC=2 $. 反比例函数 $ y=\frac{k}{x}(x＞0) $ 的图象经过点 $ E $，与边 $ BC $ 相交于点 $ D $.
(1)求 $ k $ 的值；
(2)求 $ \triangle ODE $ 的面积.

答案： 3.解:
(1)由题意可得,B(4,2).
∵E 为 OB 的中点,
∴E(2,1).
∵反比例函数 y=k/x(x＞0)的图象经过点 E,
∴把点 E(2,1)代入,得 1=k/2,解得 k=2.
(2)将 y=2 代入 y=2/x,解得 x=1.
∴点 D 的坐标为(1,2).
∴S△ODE=S△OBX-S△OCD-S△BDE=1/2×2×4-1/2×2×1-1/2×(4-1)×(2-1)=3/2.

4. (2024·广州增城区一模)如图，四边形 $ ABCD $ 为正方形，点 $ A $ 在 $ y $ 轴的正半轴上，点 $ B $ 在 $ x $ 轴的正半轴上，且 $ OA=4 $，$ OB=2 $，反比例函数 $ y=\frac{k}{x}(k\neq 0) $ 在第一象限的图象经过正方形的顶点 $ C $.
(1)求点 $ C $ 的坐标和反比例函数的解析式；

(2)若点 $ N $ 为直线 $ OD $ 上的一动点(不与点 $ O $ 重合)，在 $ y $ 轴上是否存在点 $ M $，使以点 $ A $，$ M $，$ C $，$ N $ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $ M $ 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 4.解:
(1)过点 C 作 CE⊥x 轴,垂足为 E.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°.
∵∠ABO+∠OAB=90°,∠ABO+∠EBC=90°,
∴∠OAB=∠EBC.在△AOB 和△BEC 中,{∠OAB=∠EBC,∠AOB=∠BEC,AB=BC,
∴△AOB≌△BEC(AAS).
∴AO=BE=4,OB=CE=2.
∴OE=OB+BE=2+4=6.
∴C(6,2).
∵C(6,2)在反比例函数图象上,
∴k=6×2=12.
∴反比例函数的解析式为 y=12/x.
(2)在 y 轴上存在点 M,使以点 A,M,C,N 为顶点的四边形是平行四边形.理由如下:同
(1)可得,点 D 的坐标为(4,6),设直线 OD 的解析式为 y=mx,将 D(4,6)代入,得 6=4m,解得 m=3/2.
∴直线 OD 的解析式为 y=3/2x.连接 AC.当 AC 为平行四边形的对角线时,在 y=3/2x 中,令 x=6,得 y=9.
∴N(6,9).
∴NC=9-2=7.
∵四边形 AMCN 是平行四边形,
∴AM=NC=7.
∵OA=4,
∴OM=AM-AO=3.
∴M(0,-3).当 AC 为平行四边形的边时,点 A 向上移动 7 个单位长度得到平行四边形 MACN,此时点 M 的坐标为(0,11).当点 M,N 在 x 轴下方时,M(0,-11).综上所述,符合条件的点 M 有 3 个,坐标为(0,-3)或(0,11)或(0,-11).