《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

4. 【例2】如图，$D$是$\angle AOB$的平分线$OC$上任意一点，过点$D$作$DE\perp OB$于点$E$，以$DE$为半径作$\odot D$。求证：$OA$是$\odot D$的切线。

答案： 4.证明:过点D作DF⊥OA于点F.
∵OD平分∠AOB,DE⊥OB,
∴DF=DE,即点D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE.
∴OA是⊙D的切线.

5. （教材九上P98例1）如图，$\triangle ABC$为等腰三角形，$O$是底边$BC$的中点，腰$AB$与$\odot O$相切于点$D$，求证：$AC$是$\odot O$的切线。

小结：证切线时常用辅助线添加方法：①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径。

答案： 5.证明:过点O作OE⊥AC,垂足为E,连接OD,OA.
∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,
∴AO⊥BC,AO平分∠BAC.
∵AB与⊙O相切于点D,
∴OD⊥AB.
∵OE⊥AC,
∴OE=OD.
∴OE是⊙O的半径.
∴AC是⊙O的切线.

6. 下列说法正确的是(B)

A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径外端的直线是圆的切线

答案： 6.B

7. 如图，$OA$为$\odot O$的半径，$OA = 1$，$OB = 2$，$AB=\sqrt{3}$。求证：$AB$是$\odot O$的切线。

答案： 7.证明:
∵OA²+AB²=1²+(√3)²=4,OB²=2²=4,
∴OA²+AB²=OB².
∴∠A=90°.
∴OA⊥AB.又
∵OA为⊙O的半径,
∴AB是⊙O的切线.

8. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$\odot O$过$BC$的中点$D$，且$DE\perp AC$于点$E$。求证：$DE$是$\odot O$的切线。

答案： 8.证明:连接OD.
∵D是BC的中点,O是AB的中点,
∴OD//AC.
∴∠CED=∠ODE.
∵DE⊥AC,
∴∠CED=∠ODE=90°.
∴OD⊥DE.又
∵OD是⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线.

9. 如图，$\triangle ABC$内接于$\odot O$，过$A$作直线$AE$，$\angle B=\angle EAC$。


（1）如图1，$AB$为$\odot O$的直径，求证：$AE$是$\odot O$的切线；
（2）如图2，$AB$不是$\odot O$的直径，求证：$AE$是$\odot O$的切线。

答案： 9.证明:
(1)
∵AB为⊙O的直径,
∴∠C=90°.
∴∠B+∠CAB=90°.
∵∠B=∠EAC,
∴∠EAC+∠CAB=90°,即∠EAB=90°.
∴AE⊥AB.
∵AB为⊙O的直径,
∴AE是⊙O的切线.
(2)连接AO并延长交⊙O于点D,连接CD.
∵AD为⊙O的直径,
∴∠ACD=90°.
∴∠D+∠CAD=90°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠D.
∵∠B=∠EAC,
∴∠D=∠EAC.
∴∠EAC+∠CAD=90°,即∠EAD=90°.
∴AE⊥AD.
∵AD为⊙O的直径,
∴AE是⊙O的切线.