《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

1. (2023·广州增城区一模)如图，在平面直角坐标系中，已知点 $ B(4,0) $，等边三角形 $ OAB $ 的顶点 $ A $ 在反比例函数 $ y=\frac{k}{x}(x＞0) $ 的图象上.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)把 $ \triangle OAB $ 沿 $ x $ 轴正方向平移 $ a $ 个单位长度，对应得到 $ \triangle O'A'B' $，当这个函数图象经过 $ \triangle O'A'B' $ 的边 $ O'A' $ 的中点时，求 $ a $ 的值.

答案： 1.解:
(1)过点 A 作 AC⊥OB 于点 C.
∵△OAB 是等边三角形,
∴∠AOB=60°,OC=1/2OB.
∵B(4,0),
∴OB=OA=4.
∴OC=2,AC=2√3.
∴A(2,2√3).把点 A(2,2√3)代入 y=k/x,得 2√3=k/2,解得 k=4√3.
∴反比例函数的解析式为 y=4√3/x.
(2)
∵A(2,2√3),
∴OA 的中点的坐标为(1,√3).
∵O'A'的中点的纵坐标为√3.把 y=√3 代入 y=4√3/x,得√3=4√3/x,解得 x=4.
∴a=4-1=3.

2. (2023·广州海珠区一模)如图，在 $ \triangle ABO $ 中，$ A(0,4) $，$ B(-3,0) $，$ AB $ 绕点 $ B $ 顺时针旋转与 $ BC $ 重合，点 $ C $ 在 $ x $ 轴上，连接 $ AC $. 若反比例函数 $ y=\frac{m}{x} $ 与直线 $ AC $ 仅有一个公共点 $ E $.
(1)求直线 $ AC $ 和反比例函数 $ y=\frac{m}{x} $ 的解析式；
(2)把 $ \triangle ACB $ 沿直线 $ AC $ 翻折到 $ \triangle ACD $，$ AD $ 与反比例函数图象交于点 $ F $，求 $ \triangle FCD $ 的面积.

答案： 2.解:
(1)
∵A(0,4),B(-3,0),
∴OA=4,OB=3.
∴AB=√(4²+3²)=5.
∵BC=AB,
∴OC=5-3=2.
∴C(2,0).设直线 AC 的解析式为 y=kx+4.把点 C(2,0)代入,得 0=2k+4,解得 k=-2.
∴直线 AC 的解析式为 y=-2x+4.令-2x+4=m/x,整理,得 2x²-4x+m=0.
∵反比例函数 y=m/x 与直线 AC 仅有一个公共点 E,
∴Δ=(-4)²-8m=0,解得 m=2.
∴反比例函数的解析式为 y=2/x.
(2)由题意可知 AB=BC=CD=DA.
∴四边形 ABCD 是菱形.
∴AD//BC.
∴点 F 的纵坐标为 4.把 y=4 代入 y=2/x,得 x=1/2.
∴F(1/2,4).
∴AF=1/2.
∵AD=AB=5,
∴AF/AD=1/10.
∵S△ACD=S△ABC=1/2·BC·OA=1/2×5×4=10.
∴S△AFC=1/10S△ACD=1.
∴S△FCD=S△ACD-S△AFC=10-1=9.