《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
几何语言：∵直径$AB⊥$弦$CD$，
∴$CE=DE$，$\widehat {AC}=\widehat {AD}$，$\widehat {BC}=\widehat {BD}$.

答案： 垂径定理:平分 弧 几何语言:直径$AB⊥$弦$CD$，$CE=DE$，$\widehat {AC}=\widehat {AD}$，$\widehat {BC}=\widehat {BD}$

问题1：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）的结论与题设交换一条，命题还是真命题吗？

答案： 不是真命题

问题2：如图，CD是⊙O的一条弦，直径AB平分弦CD于点E.
(1)AB⊥CD吗？为什么？
(2)$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{AD}$相等吗？$\overset{\frown}{BC}$与$\overset{\frown}{BD}$相等吗？为什么？

垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
几何语言：∵AB是直径，AB平分弦CD(不是直径)，
∴$CD⊥AB$，$\widehat {AC}=\widehat {AD}$，$\widehat {BC}=\widehat {BD}$.

答案： 问题2:解:
(1)连接OC,OD,则$OC=OD$.
∵直径AB平分弦CD,
∴$CE=DE$.又
∵$OE=OE$，
∴$△COE≌△DOE(SSS)$，
∴$∠CEO=∠DEO=90^{\circ }$.
(2)由垂径定理,得$\widehat {AC}=\widehat {AD}$，$\widehat {BC}=\widehat {BD}$. 垂径定理推论:平分弦(不是直径) 垂直于 平分弦所对的两条弧 几何语言:AB平分弦CD(不是直径)，$CD⊥AB$，$\widehat {AC}=\widehat {AD}$，$\widehat {BC}=\widehat {BD}$

问题3：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
问题4：①过圆心（或是直径）；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？如果可以，请你试着用几何语言进行表述.

答案：
问题3:解:不能,反例如下;　　　　　　　　　　　

1. 【例1】如图，C为弦AB的中点.若CD=1，AB=10，求⊙O的半径.

答案： 1.解:连接OB.
∵C为弦AB的中点，$AB=10$，
∴$OC⊥AB$，$BC=\frac{1}{2}AB=5$.
∵$CD=1$，
∴$OC=OD−1=OB−1$.
∵$OB^{2}=OC^{2}+BC^{2}$，
∴$OB^{2}=(OB−1)^{2}+5^{2}$，解得$OB=13$.
∴$\odot O$的半径为13.

2. AB是⊙O的弦，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OC交AB于点D.若AB=8 cm，CD=2 cm，求⊙O的半径.

答案： 2.解:连接OA.
∵C是$\widehat {AB}$的中点，
∴D是弦AB的中点，
∴$OC⊥AB$，$AD=BD=4cm$.在$Rt△OAD$中，$OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}$，
∴$OA^{2}=4^{2}+(OA−2)^{2}$，
∴$OA=5cm$.
∴$\odot O$的半径为5cm.