《2025年名校课堂九年级数学全一册人教版广东专版》

知识点 1 抛物线 $ y = ax^2 $ 与 $ y = a(x - h)^2 $ 的关系
1. 【例 1】抛物线 $ y = \frac{1}{3}x^2 $ 向左平移 1 个单位长度，得到的抛物线解析式为____。
2. 抛物线 $ y = -x^2 $ 向右平移 1 个单位长度得到的抛物线解析式为____。

答案： 1.$y=\frac {1}{3}(x+1)^{2}$ 2.$y=-(x-1)^{2}$

知识点 2 二次函数 $ y = a(x - h)^2 $ 的图象和性质
3. 【例 2】已知抛物线 $ y = (x - 3)^2 $。
(1) 开口向____；
(2) 顶点坐标是____；
(3) 对称轴是____；
(4) 当 $ x = $____时，$ y $ 的最小值是____；
(5) 当 $ x $____时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；
(6) 若 $ 3 \leq x \leq 5 $，则 $ y $ 的取值范围是____；
(7) 若 $ -1 \leq x \leq 5 $，则 $ y $ 的取值范围是____；
(8) 若抛物线上有两点 $ A(x_1, y_1) $，$ B(x_2, y_2) $，且 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 3 $，则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系是____。

答案： 3.
(1)上
(2)(3,0)
(3)直线$x=3$
(4)3 0
(5)$＞3$
(6)$0≤y≤4$
(7)$0≤y≤16$
(8)$y_{1}＞y_{2}$

4. 已知抛物线 $ y = -3(x + 1)^2 $。
(1) 它的开口向____；
(2) 它的对称轴是____；
(3) 它的顶点坐标为；
(4) 当 $ x $时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；
(5) 当 $ x = $时，$ y $ 有最值，其值是____；
(6) 若 $ -4 ＜ x \leq -1 $，则 $ y $ 的取值范围是；
(7) 若 $ -2 \leq x \leq 3 $，则 $ y $ 的取值范围是；
(8) 若抛物线上有两点 $ A(x_1, y_1) $，$ B(x_2, y_2) $，且 $ x_2 ＜ x_1 ＜ -1 $，则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系是。

答案： 4.
(1)下
(2)直线$x=-1$
(3)$(-1,0)$
(4)$＜-1$
(5)-1 大
(6)$-27≤y≤0$
(7)$-48≤y≤0$
(8)$y_{1}＞y_{2}$

5. 将抛物线 $ y = 2x^2 $ 向左平移 3 个单位长度得到的抛物线的解析式是(C)

A.$ y = 2x^2 + 3 $
B.$ y = 2x^2 - 3 $
C.$ y = 2(x + 3)^2 $
D.$ y = 2(x - 3)^2 $

答案： 5.C

6. 二次函数 $ y = -2(x - 1)^2 $ 的图象大致是(D)

答案： 6.D

7. 对于二次函数 $ y = 3(x + 2)^2 $，下列说法正确的是(D)

A.图象的开口向下
B.图象的对称轴是直线 $ x = 2 $
C.当 $ x ＞ -2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.函数有最小值 0

答案： 7.D

8. 抛物线 $ y = ax^2 $ 向右平移 3 个单位长度后经过点 $ (-1, 4) $，求 $ a $ 的值和平移后抛物线对应的二次函数解析式。

答案： 8.解:抛物线$y=ax^{2}$向右平移3个单位长度的抛物线的解析式为$y=a(x-3)^{2}$.把点$(-1,4)$代入,得$4=a(-1-3)^{2}$,解得$a=\frac {1}{4}$.
∴该抛物线的解析式为$y=\frac {1}{4}(x-3)^{2}.$

9. 已知 $ a ＞ 0 $，设二次函数 $ y_1 = a(x - 1)^2 $，$ y_2 = a(x - 2)^2 $。直线 $ x = m $ 与函数 $ y_1 $，$ y_2 $ 的图象分别交于点 $ A(m, c_1) $，$ B(m, c_2) $，则下列说法正确的是(D)

A.若 $ m ＜ 1 $，则 $ c_1 ＞ c_2 $
B.若 $ 1 ＜ m ＜ 2 $，则 $ c_1 ＜ c_2 $
C.若 $ m = 2 $，则 $ c_1 = c_2 $
D.若 $ m ＞ 2 $，则 $ c_1 ＞ c_2 $

答案： 9.D