《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

12. (12 分)如图,我们把杜甫的《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中.

(1)“岭”和“船”的坐标依次是(4,2)和(7,1);
(2)先将第 2 行与第 3 行对调,再将第 3 列与第 7 列对调,“雪”由开始的坐标依次变为(7,3)和(3,3);
(3)“泊”开始的坐标是 $ (2,1) $,使它的坐标变换到 $ (5,3) $,应该先将哪两行对调,再将哪两列对调?
“泊”开始的坐标是(2,1)，使它的坐标变换到(5,3)，应该先将第1行与第3行对调，再将第2列与第5列对调。

答案： 12.
(1)(4,2) (7,1);
(2)(7,3) (3,3);
(3)“泊”开始的坐标是(2,1)，使它的坐标变换到(5,3)，应该先将第1行与第3行对调，再将第2列与第5列对调。

13. (14 分)(2025·江苏扬州期末)我国古代数学家罗士琳痴迷研究勾股定理,提出推算勾股数的“罗士琳法则”,其中有一个法则如下:如果 $ k $ 是大于 2 的偶数,那么 $ k $、$ k $ 的一半的平方减 1 和 $ k $ 的一半的平方加 1 是一组勾股数.
(1)按照这个法则,写出 2 组不同的勾股数:4,3,5,6,8,10;
(2)用等式表示这三个勾股数之间的数量关系,并证明.
当k是大于2的偶数时，$k^{2}+[(\frac{1}{2}k)^{2}-1]^{2}=[(\frac{1}{2}k)^{2}+1]^{2}$。证明如下:因为左边$=k^{2}+[(\frac{1}{2}k)^{2}-1]^{2}=k^{2}+(\frac{1}{4}k^{2}-1)^{2}=k^{2}+\frac{1}{16}k^{4}-\frac{1}{2}k^{2}+1=\frac{1}{16}k^{4}+\frac{1}{2}k^{2}+1$；右边$=[(\frac{1}{2}k)^{2}+1]^{2}=(\frac{1}{4}k^{2}+1)^{2}=\frac{1}{16}k^{4}+\frac{1}{2}k^{2}+1$，所以左边=右边，即等式成立。

答案： 13.
(1)(答案不唯一)3,4,5 6,8,10;
(2)当k是大于2的偶数时，$k^{2}+[(\frac{1}{2}k)^{2}-1]^{2}=[(\frac{1}{2}k)^{2}+1]^{2}$。证明如下:因为左边$=k^{2}+[(\frac{1}{2}k)^{2}-1]^{2}=k^{2}+(\frac{1}{4}k^{2}-1)^{2}=k^{2}+\frac{1}{16}k^{4}-\frac{1}{2}k^{2}+1=\frac{1}{16}k^{4}+\frac{1}{2}k^{2}+1$；右边$=[(\frac{1}{2}k)^{2}+1]^{2}=(\frac{1}{4}k^{2}+1)^{2}=\frac{1}{16}k^{4}+\frac{1}{2}k^{2}+1$，所以左边=右边，即等式成立。

14. (14 分)开封刺绣历史悠久,早在北宋时期就已闻名,民间多把开封刺绣称为“汴绣”,2008 年人选中国非物质文化遗产.某网店负责人小明在开封某汴绣专营店选中 $ A,B $ 两款高端汴绣,决定从该店进货并销售,已知两款汴绣的进货价和销售价如下表:
| | $ A $ 款汴绣 | $ B $ 款汴绣 |
| 进货价/(元/件) | 800 | 1400 |
| 销售价/(元/件) | 980 | 1680 |
(1)第一次小明用 24 400 元购进了 $ A,B $ 两款汴绣共 20 件,求两款汴绣各购进多少件;
(2)第二次小明进货时,计划购进 $ A $ 款汴绣的数量不少于 $ B $ 款汴绣数量的 $ \frac{2}{3} $,且小明计划购进两款汴绣共 30 件,则应如何设计进货方案才能获得最大利润? 最大利润为多少?

答案： 14.
(1)设A款汴绣购进了x件，则B款汴绣购进了(20 - x)件。由题意，得800x + 1400(20 - x)=24400，解得x = 6，则20 - x = 14。故A款汴绣购进了6件，B款汴绣购进了14件。
(2)设A款汴绣购进a件，两款汴绣的销售利润为y元，则B款汴绣购进(30 - a)件。由题意，得$y=(980 - 800)a+(1680 - 1400)\cdot(30 - a)=-100a + 8400$。因为 - 100 ＜ 0，所以y随a的增大而减小。因为$a\geq\frac{2}{3}(30 - a)$，所以$a\geq12$，所以当a = 12时，y取最大值，且最大值为$-100×12 + 8400 = 7200$，则30 - a = 18。故当A款汴绣购进12件，B款汴绣购进18件时，才能获得最大利润，最大利润为7200元。