《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

15. (10分)如图,C为直线l上的一点,A,B为直线l外两点,过A,B两点作直线l的垂线,垂足分别为D,E,连接AC,CB,AB,且AB交直线l于点F.若$AC= CB,AD= CE$,求证:
(1) $CE= BE+DE$;
(2) $AC⊥CB$.

答案：
(1)因为AD⊥CE,BE⊥CE,所以∠ADC=∠CEB=90°.在Rt△ACD和Rt△CBE中,AC=CB,AD=CE,{所以Rt△ACD≌Rt△CBE(HL),所以CD=BE,所以CE=CD+DE=BE+DE.
(2)因为Rt△ACD≌Rt△CBE,所以∠ACD=∠CBE.因为∠CEB=90°,所以∠BCE+∠CBE=90°,所以∠BCE+∠ACD=90°,所以∠ACB=90°,所以AC⊥CB,

16. (12分)(2025·江苏苏州模拟)
(1) 如图①,在$△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= AC$,点D,E分别在边AC,AB上.若$CE= $$BD$,则线段AE和线段AD之间的数量关系是______;
(2) 如图②,在$△ABC$中,$∠BAC＞90^{\circ },AB= AC$,点D在边AC上,点E在边AB上,且$CE= BD$,则线段AE与线段AD之间有什么数量关系? 请说明理由.

答案：

(1)AE=AD
(2)AE=AD.理由如下:如图,过点C作CM⊥AB,交BA的延长线于点M,过点B 作BN⊥AC,交CA的延长线于点N,则∠M=∠N=90°.在△ACM和△ABN中,∠M=∠N,∠CAM=∠BAN,AC=AB,{所以△ACM≌△ABN (AAS),所以AM=AN,CM=BN.在Rt△CEM和Rt△BDN中,{CE=BD,CM=BN,所以Rt△CEM≌Rt△BDN(HL),所以EM=DN,所以EM−AM=DN−AN,所以AE=AD.
　　　　

17. (12分)新趋势 推导探究
(1) 如图①,在四边形ABCD中,$AB= AD,∠ABC= ∠ADC= 90^{\circ },E,F$分别是边BC,CD上的点,且$∠EAF= \frac {1}{2}∠BAD$.求证:$EF= BE+DF$;
(2) 如图②,在四边形ABCD中,$AB= AD,∠ABC+∠ADC= 180^{\circ },E,F$分别是边BC,CD上的点,且$∠EAF= \frac {1}{2}∠BAD$,(1)中的结论是否仍然成立? 请说明理由;
(3) 如图③,在四边形ABCD中,$AB= AD,∠ABC+∠ADC= 180^{\circ },E,F$分别是边BC,CD延长线上的点,且$∠EAF= \frac {1}{2}∠BAD$,(1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.

答案：
(1)延长EB到点G,使BG=DF,连接AG.因为∠ABC=90°,所以∠ABG=180°−∠ABC=90°.因为∠ADC=90°,所以∠ABG=∠ADC.在△ABG和△ADF中,AB=AD,∠ABG=∠ADF,BG=DF,{所以△ABG≌△ADF (SAS),所以AG=AF,∠GAB=∠FAD,所以∠EAG=∠GAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE.因为∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,所以∠EAF=∠FAD+∠BAE,所以∠EAG=∠EAF.在△AEG和△AEF中,AG=AF,∠EAG=∠EAF,AE=AE,{所以△AEG≌△AEF(SAS),所以EG=EF.因为EG=BE+BG,所以EF=BE+DF.
(2)
(1)中的结论仍然成立.理由如下:延长EB到点M,使BM=DF，连接AM.因为∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠ABM=180°,所以∠ABM=∠ADC.在△ABM和△ADF中,AB=AD,∠ABM=∠ADF,BM=DF,{所以△ABM≌△ADF(SAS),所以AM=AF,∠MAB=∠FAD,所以∠EAM=∠MAB+∠BAE=∠FAD十∠BAE.因为∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,所以∠EAF=∠FAD十∠BAE,所以∠EAM=∠EAF.在△AEM和△AEF中,AM=AF,∠EAM=∠EAF,AE=AE,{所以△AEM≌△AEF (SAS),所以EM=EF.因为EM=BE+BM,所以EF=BE+DF.
(3)
(1)中的结论不成立，应是EF=BE−DF.证明如下:在BE上截取BH=DF，连接AH.因为∠ABC+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,所以∠ABC=∠ADF.在△ABH和△ADF中,AB=AD,∠ABH=∠ADF,BH=DF,{所以△ABH≌△ADF(SAS),所以AH=AF,∠BAH=∠DAF,所以∠BAH+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,所以∠EAH=$\frac{1}{2}$∠BAD=∠EAF.在△AEH和△AEF中,AH=AF,∠EAH=∠EAF,AE=AE,{所以△AEH≌△AEF(SAS),所以EH=EF,因为EH=BE−BH,所以EF=BE−DF.