《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

17. 亮点原创 如图,$AC,BD是四边形ABCD$的对角线.若$AB= AC= 6,BD= 5,CD= 1,\angle ABD= 60^{\circ }$,则$\angle ACD$的度数为______.

答案：
60°　解析:如图,延长BD至点E,使BE=AB=6,连接AE.因为∠ABD=60°,所以△ABE是等边三角形,所以∠E=60°,AE=AB=AC.因为BD=5,所以ED=BE−BD=1.因为CD=1,所以CD=ED.在△ACD和△AED中,
$\begin{cases}AC = AE\\CD = ED\\AD = AD\end{cases}$
所以△ACD≌△AED(SSS),所以∠ACD=∠E=60°.

18. (2025·江苏淮安模拟)如图,$\triangle ABC是边长为4cm$的等边三角形,点$P从点A$出发,沿边$AB向点B$运动,同时点$Q从点B$出发,沿边$BC向点C$运动,且它们的速度都为$1cm/s$,连接$AQ,CP相交于点M$,连接$PQ$.设运动的时间为$t\;s$.给出下面四个结论:①$BP= CM$;②$\triangle ABQ\cong \triangle CAP$;③$\angle CMQ$的度数不变,始终等于$60^{\circ }$;④当$t= \frac {4}{3}或\frac {8}{3}$时,$\triangle PBQ$为直角三角形.其中正确的是______.(填序号)

②③④

答案： ②③④　解析:因为△ABC是等边三角形,所以AB=BC=CA,∠BAC=∠B=∠ACB=60°.由题意,得AP=BQ.在△ABQ和△CAP中,
$\begin{cases}AB = CA\\∠B = ∠CAP\\BQ = AP\end{cases}$
所以△ABQ≌△CAP(SAS),故②正确;因为△ABQ≌△CAP,所以∠BAQ=∠ACP,所以∠CMQ=∠CAM+∠ACP=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°,故③正确;因为∠CQM=∠B+∠BAQ＞60°,∠CMQ=60°,所以∠CQM≠∠CMQ,所以CM≠CQ.因为AB=BC,AP=BQ,所以AB−AP=BC−BQ,即BP=CQ,所以BP≠CM,故①错误;由题意,得AP=BQ=tcm,BP=(4−t)cm.当∠PQB=90°时,∠BPQ=90°−∠B=30°,所以BQ=$\frac{1}{2}$BP,所以t=$\frac{1}{2}$(4−t),解得t=$\frac{4}{3}$;当∠BPQ=90°时,∠PQB=90°−∠B=30°,所以BQ=2BP,所以t=2(4−t),解得t=$\frac{8}{3}$.故当t=$\frac{4}{3}$或$\frac{8}{3}$时,△PBQ为直角三角形,故④正确.

19. (4分)新素养 推理能力(2024·四川攀枝花)如图,$AB// CD,AE// CF,BF= DE$.求证:$AB= CD$.

答案： 因为AB//CD,AE//CF,所以∠B=∠D,∠AEB=∠CFD.因为BF=DE,所以BF+EF=DE+EF,所以BE=DF.在△ABE和△CDF中,
$\begin{cases}∠B = ∠D\\BE = DF\\∠AEB = ∠CFD\end{cases}$
所以△ABE≌△CDF(ASA),所以AB=CD.

20. (4分)亮点原创 如图,$M,N是5×5$的正方形网格中的格点.请在图中找出所有格点$P$(分别用$P_{1},P_{2},…$表示),使以$M,N,P$三点为顶点的三角形是等腰三角形.

答案：
所有格点P的位置如图所示:

21. (4分)(2023·湖北荆州)如图,$BD是等边三角形ABC$的中线,以点$D$为圆心,$DB$为半径作弧,交$BC的延长线于点E$,连接$DE$.求证:$CD= CE$.

答案： 因为△ABC是等边三角形,所以∠ABC=∠ACB=60°.因为BD是△ABC的中线,所以∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°.因为DB=DE,所以∠BED=∠CBD=30°,所以∠CDE=∠ACB−∠BED=30°,所以∠CDE=∠BED,所以CD=CE.