《2025年亮点给力大试卷八年级数学上册苏科版》

16. 亮点原创 如图,AD 是$\triangle ABC$的高,CE 是$\triangle ACD$的中线,$BD = 2CD$.若$CE = a$,则$AB = $2a.(用含 a 的代数式表示)

答案： 2a

17. 新素养 推理能力 如图,在$\triangle ABC和\triangle ADE$中,$∠BAC = ∠DAE = 90^{\circ}$,$AB = AC$,$AD = AE$,点 C,D,E 在同一条直线上,连接 BD,BE. 给出下列结论:①$BD = CE$;②$BD⊥CE$;③$∠ACE + ∠DBC = 45^{\circ}$;④$BE^{2} = 2(AD^{2} + AB^{2})$.其中正确的是______.(填序号)

①②③

答案： ①②③　解析:因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,所以∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE},所以△BAD≌△CAE(SAS),所以BD=CE,故①正确;因为△BAD≌△CAE,所以∠ABD=∠ACE.因为∠BAC=90°,所以∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°,所以∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°,所以∠BCD+∠DBC=90°,所以∠BDC=90°,所以BD⊥CE,故②正确;因为∠BAC=90°,AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=1/2(180° - ∠BAC)=45°,所以∠ABD+∠DBC=45°,所以∠ACE+∠DBC=45°,故③正确;因为∠BAC=∠DAE=90°,所以AB²+AC²=BC²,AD²+AE²=DE².因为AB=AC,AD=AE,所以BC²=2AB²,DE²=2AD².因为BC²=CD²+BD²≠BD²,所以2AB²≠BD².因为BE²=DE²+BD²=2AD²+BD²,所以BE²≠2(AD²+AB²),故④错误.

18. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$AC ＞ BC$,分别以$\triangle ABC$的三边为边向外作三个正方形 ABHL,ACDE,BCFG,连接 DF,过点 C 作 AB 的垂线 CJ,垂足为 J,分别交 DF,LH 于点 I,K.若$CI = 5$,$CJ = 4$,则四边形 AJKL 的面积是______80.

答案： 80　解析:如图，过点D作DM⊥CI,交CI 的延长线于点M,过点F作FN⊥CI于点N,则∠M=∠FNC=∠FNI=90°.因为四边形ABHL、四边形ACDE、四边形BCFG 都为正方形，所以AB=AL,AC=CD,BC=CF,∠ACD=∠BCF=90°.因为CJ⊥AB,所以∠AJC=∠BJC=90°,所以∠M=∠AJC.因为∠DCM+∠ACJ=180° - ∠ACD=90°,∠CAJ+∠ACJ=90°,所以∠DCM=∠CAJ.在△CDM和△ACJ中,{∠M=∠AJC,∠DCM=∠CAJ,CD=AC},所以△CDM≌△ACJ(AAS),所以DM=CJ=4,CM=AJ.同理可证△CNF≌△BJC(AAS),所以CN=BJ,FN=CJ=4,所以DM=FN.在△DMI和△FNI中,{∠DIM=∠FIN,∠M=∠FNI,DM=FN},所以△DMI≌△FNI(AAS),所以MI=NI,DI=FI.因为∠ACB=90°,所以∠DCF=360° - ∠ACB - ∠ACD - ∠BCF=90°,所以DI=CI=5,所以NI=MI=√(DI² - DM²)=3,所以AJ=CM=CI+MI=8,BJ=CN=CI - NI=2,所以AL=AB=AJ+BJ=10.因为四边形AJKL为长方形,所以S四边形AJKL=AJ·AL=80.故四边形AJKL的面积是80.

19. (6 分)如图,在$\triangle ABC$中,$AC = 13$,$BC = 20$,$CD = 12$,$AD = 5$.
(1) 求 BD 的长;
(2) 求$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1)因为AC=13,CD=12,AD=5,所以CD²+AD²=AC²,所以△ACD为直角三角形,且∠ADC=90°,所以∠BDC=180° - ∠ADC=90°.因为BC=20,所以BD=√(BC² - CD²)=16.
(2)因为AD=5,BD=16,所以AB=AD+BD=21.因为∠ADC=90°,所以CD⊥AB.因为CD=12,所以S△ABC=1/2AB·CD=126.故△ABC的面积为126.

20. (4 分)如图,已知$∠AOB = 90^{\circ}$,点 C 在边 OA 上,$OA = 36$cm,$OB = 12$cm,点 P 从点 A 出发,沿着 AO 方向匀速运动,点 Q 同时从点 B 出发,以相同的速度沿 BC 方向匀速运动.若 P,Q 两点恰好在点 C 处相遇,求 BC 的长.

答案： 由题意，得AC=BC.设AC=BC=xcm.因为OA=36cm,所以OC=OA - AC=(36 - x)cm.因为∠AOB=90°,所以OB²+OC²=BC².因为OB=12cm,所以12²+(36 - x)²=x²,解得x=20,即BC的长为20cm.